Há 12 pontos, A, B, C, …, dados num plano alpha, sendo que 3 desses pontos nunca pertencem a uma mesma reta. Qual é o número de triângulos que podemos formar, utilizando os 12 pontos e tendo o ponto A como um dos vértices?

Passo 1

O enunciado dá 12 pontos num plano alpha em que não há três colineares (ou seja, qualquer tripla de pontos forma um triângulo). Pede o número de triângulos que têm o ponto A como um vértice. Vamos usar contagem combinatória: fixamos A e escolhemos outros dois pontos dentre os 11 restantes.

Passo 2

Para formar um triângulo com A, basta escolher dois pontos distintos entre os 11 pontos restantes. Como não há três colineares, toda escolha de dois pontos junto com A gera um triângulo.

Passo 3

O número de formas de escolher 2 pontos entre 11 é dado pela combinação
binom112

Passo 4

Calculando a combinação:
binom112 = 11 cdot 102 = 55

Resposta

55 triângulos.

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