De quantas formas podemos repartir 9 pessoas em 3 grupos, ficando 3 pessoas em cada grupo?
Passo 1
O enunciado pede o número de formas de repartir 9 pessoas em 3 grupos de 3 pessoas cada, sem especificar nomes ou posições para os grupos. Esse é um problema de partição de conjuntos em partes de mesmo tamanho, e vamos usar combinações e o princípio do multinomial para resolver.
Passo 2
Primeiro escolhemos quais
pessoas formam o primeiro grupo. Isso pode ser feito de
maneiras.
Passo 3
Das
pessoas que restam, escolhemos
para formar o segundo grupo. Isso pode ser feito de
maneiras. O terceiro grupo fica definido automaticamente pelas
pessoas restantes, ou seja,
Passo 4
Multiplicando esses fatores teríamos
mas isso conta cada repartição
vezes, porque a ordem em que identificamos “primeiro”, “segundo” e “terceiro” grupo não importa.
Passo 5
Para eliminar essa contagem extra, dividimos por
. Logo o total de partições é
Passo 6
Basta calcular numericamente:
então