De quantas formas podemos repartir 9 pessoas em 3 grupos, ficando 3 pessoas em cada grupo?

Passo 1

O enunciado pede o número de formas de repartir 9 pessoas em 3 grupos de 3 pessoas cada, sem especificar nomes ou posições para os grupos. Esse é um problema de partição de conjuntos em partes de mesmo tamanho, e vamos usar combinações e o princípio do multinomial para resolver.

Passo 2

Primeiro escolhemos quais 3 pessoas formam o primeiro grupo. Isso pode ser feito de
binom93
maneiras.

Passo 3

Das 6 pessoas que restam, escolhemos 3 para formar o segundo grupo. Isso pode ser feito de
binom63
maneiras. O terceiro grupo fica definido automaticamente pelas 3 pessoas restantes, ou seja,
binom33=1

Passo 4

Multiplicando esses fatores teríamos
binom93;binom63;binom33
mas isso conta cada repartição 3! vezes, porque a ordem em que identificamos “primeiro”, “segundo” e “terceiro” grupo não importa.

Passo 5

Para eliminar essa contagem extra, dividimos por 3!. Logo o total de partições é
binom93,binom63,binom333! =binom93,binom633!

Passo 6

Basta calcular numericamente:
binom93=84, binom63=20, 3!=6,
então
84times206=16806=280

Resposta

280 formas.

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