Os pontos A(1,2), B(4,3), C(3,1) e D(m, n), nessa ordem, formam um paralelogramo. Determine a equação da reta AD e calcule a área do paralelogramo ABCD .

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,2), B(4,3), C(3,1) e D(m,n) que, nessa ordem, formam um paralelogramo. Precisamos achar a equação da reta AD e a área de ABCD. Vamos usar a propriedade vetorial de paralelogramo para determinar D, depois obter a reta por dois pontos e calcular a área via determinante de vetores.

Passo 2

Num paralelogramo vale
A+C=B+D
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D = A + C - B = (1,2)+(3,1)-(4,3) = (1+3-4,;2+1-3) = (0,0)

Passo 3

A reta AD passa por A(1,2) e D(0,0). A inclinação é
m = 2-01-0 = 2,
então a forma ponto-inclinação dá
y - 2 = 2(x - 1)
e, isolando y,
y = 2x

Passo 4

Para a área usamos os vetores adjacentes
AB = (4-1,;3-2) = (3,1) e
AD = (0-1,;0-2) = (-1,-2).
A área é o valor absoluto do determinante:
l|det3 & -11 & -2r| = l|3cdot(-2)-1cdot(-1)r| = l|-6+1r| =5

Resposta

A equação da reta AD é
y = 2x
e a área do paralelogramo ABCD é
5

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