Determine os pontos P(x, y) do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem a condição:
4 caso: 4 x+2 y-4 <= 0 e 2 x+4 y >=-8

Passo 1

O enunciado pede a região do plano formada pelos pontos P(x,y) que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades lineares
4x + 2y - 4 ;<=; 0 e 2x + 4y ;>=;-8
O conteúdo aqui é representação geométrica de semiplanos e sua interseção.

Passo 2

Vamos colocar cada desigualdade na forma y em função de x:
Da primeira:
4x + 2y - 4 <= 0 ;Longrightarrow; 2y <= 4 - 4x ;Longrightarrow; y <= 2 - 2x
Da segunda:
2x + 4y >= -8 ;Longrightarrow; 4y >= -2x - 8 ;Longrightarrow; y >= -tfracx2 - 2

Passo 3

Para saber de que lado de cada reta a região válida fica, basta testar um ponto qualquer (por exemplo (0,0)):
– Em 4x+2y-4<=0, com (0,0) obtemos -4<=0, verdadeiro. Logo a região é
y <= 2 - 2x
abaixo (ou sobre) da reta y=2-2x.
– Em 2x+4y>=-8, com (0,0) obtemos 0>=-8, verdadeiro. Logo a região é
y >= -tfracx2 - 2
acima (ou sobre) da reta y=-tfracx2-2.

Passo 4

A interseção dessas duas regiões é o conjunto dos pontos que ficam entre as retas
y = 2 - 2x e y = -tfracx2 - 2,
incluindo ambas as fronteiras. Para verificar onde elas se encontram, resolvemos o sistema de equações
y = 2 - 2x, y = -tfracx2 - 2
Igualando-as:
2 - 2x = -tfracx2 - 2 Longrightarrow 2 + 2 = 2x - tfracx2 Longrightarrow 4 = tfrac3x2 Longrightarrow x = tfrac83,
e então
y = 2 - 2cdottfrac83 = 2 - tfrac163 = -tfrac103
Portanto as retas se cruzam em l(tfrac83,-tfrac103r), mas a região toda é o “faixa” ilimitada entre elas.

Resposta

O conjunto procurado é
l(x,y)in R^2 mid -tfracx2-2 ;<=; y ;<=; 2-2x r,
isto é, o semiplano abaixo da reta y=2-2x e acima da reta y=-tfracx2-2, incluindo as fronteiras.

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