Numa população os ingressoa são distribuidos segundo uma distribuição de Pareto, com alpha=5 e beta=2200.
(a) Qual é a probabilidade de que uma pessoa ganhe mais de 1000?
(b) Qual é a probabilidade de que uma pessoa ganhe entre 1000 e 1500?
(c) Qual é a probabilidade de que uma pessoa ganhe abaixo da média?

Passo 1

O enunciado diz que a renda X numa população segue uma distribuição de Pareto com parâmetro de forma alpha=5 e parâmetro de escala (mínimo) beta=2200. Vamos usar a fórmula da função de distribuição acumulada (CDF) do Pareto e a fórmula da esperança para responder às três perguntas.

Passo 2

Para x>=beta a CDF do Pareto é
F(x)=P(X<= x)=1-l(betaxr)^alpha
Fora do suporte, isto é, para x<beta, temos F(x)=0.

Passo 3

(a) Queremos P(X>1000). Como 1000<beta=2200, então F(1000)=0 e
P(X>1000)=1-F(1000)=1-0=1

Passo 4

(b) Queremos P(1000<X<1500)=F(1500)-F(1000). Mas tanto 1000 quanto 1500 estão abaixo de beta, logo F(1000)=F(1500)=0. Assim,
P(1000<X<1500)=0-0=0

Passo 5

(c) Primeiro calculamos a média mu=E[X] do Pareto, que existe pois alpha>1 e vale
mu=alpha,betaalpha-1=5cdot22005-1=110004=2750
A probabilidade de ganhar abaixo da média é
P(X<mu)=F(2750)=1-l(22002750r)^5 =1-0,8^5approx1-0,32768=0,67232

Resposta

(a) 1
(b) 0
(c) 0,67232 (aproximadamente)

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