Verifique que integral0^+infty e^-x^2 x^2 n+1 d x=n!2 ; n in N.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
In = integral0^+infty e^-x^2,x^2n+1,dx,
para ninN. Vamos usar a substituição t = x^2, que nos leva à definição da função Gama, isto é,
Gamma(alpha) = integral0^+infty e^-t,t^alpha-1,dt

Passo 2

Fazendo t = x^2 temos dt = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfracdt2. Além disso x^2n = t^n. Logo,
x^2n+1,dx = x^2n,(x,dx) = t^n,dt2
Substituindo na integral original:
In = integral0^+infty e^-x^2,x^2n+1,dx = 12integral0^+infty e^-t,t^n,dt

Passo 3

Repare que
integral0^+infty e^-t,t^n,dt = Gamma(n+1),
pela definição da função Gama com alpha = n+1.

Passo 4

Sabendo que para ninN vale Gamma(n+1)=n!, obtemos
In = 12,Gamma(n+1) = n!2

Resposta

integral0^+infty e^-x^2,x^2n+1,dx = n!2

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