1º) Qual é a posição de P(2,3) e lambda: x^2+y^2-4 x=0 ?
Temos f(x, y)=x^2+y^2-4 x
Então:
f(2,3)=2^2+3^2-4 cdot 2=5>0 Rightarrow P exterior a lambda

Passo 1

O enunciado dá o ponto P(2,3) e a circunferência lambda cuja equação é
x^2 + y^2 - 4x = 0
O objetivo é decidir se P está no interior, na fronteira ou no exterior de lambda.

Passo 2

Para entender a posição de P, reescrevemos a equação de lambda por completar quadrado:
x^2 - 4x + y^2 = 0 ;Longrightarrow; (x-2)^2 - 4 + y^2 = 0 ;Longrightarrow; (x-2)^2 + y^2 = 4
Isso mostra que o centro é C(2,0) e o raio é r=2. Em seguida definimos
f(x,y)=x^2+y^2-4x,
que pode ser escrita como
f(x,y)=(x-2)^2+y^2-4
Daí decorre a regra:
– se f(x,y)>0, então (x-2)^2+y^2>4 e o ponto está no exterior;
– se f(x,y)=0, está na fronteira;
– se f(x,y)<0, está no interior.

Passo 3

Calculamos
f(2,3)=2^2+3^2-4cdot2=4+9-8=5>0
Como f(2,3)>0, concluímos que P fica fora da circunferência.

Resposta

P é exterior a lambda.

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