Calcule a distância do centro da circunferência x^2+y^2+4 x-4 y-17=0 à reta 12 x+5 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^2+y^2+4x-4y-17=0
e pede a distância do seu centro à reta
12x+5y=0
O assunto é geometria analítica: primeiro vamos achar o centro da circunferência completando quadrados, depois usar a fórmula da distância de um ponto à reta.

Passo 2

Para encontrar o centro, escrevemos
x^2+4x + y^2-4y = 17
e completamos quadrados:
x^2+4x = (x+2)^2-4, y^2-4y = (y-2)^2-4
Então
(x+2)^2-4 + (y-2)^2-4 = 17 ;Longrightarrow; (x+2)^2 + (y-2)^2 = 25
Logo o centro é C(-2,2).

Passo 3

A distância de um ponto (h,k) à reta ax+by+c=0 é dada por
d = l|a,h + b,k + cr|raiza^2+b^2

Passo 4

Aqui a=12, b=5, c=0 e (h,k)=(-2,2). Logo
d = l|12cdot(-2) + 5cdot2 + 0r|raiz12^2+5^2 = l|-24 +10r|raiz144+25 = 1413

Resposta

A distância é tfrac1413.

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