Determine a posição de 𝑃 em relação à circunferência 𝜆 nos seguintes casos:
𝑃(0,0) e ( 𝜆 ) 16𝑥2+16𝑦2+16√2𝑥−8𝑦−71=0

Passo 1

O enunciado dá o ponto P(0,0) e a circunferência lambda de equação
16x^2 + 16y^2 + 16raiz2,x - 8,y - 71 = 0
e pede para determinar se P está no interior, na fronteira ou no exterior de lambda. Vamos usar geometria analítica: primeiro encontrar o centro e o raio de lambda completando quadrados, depois calcular a distância de P ao centro e comparar com o raio.

Passo 2

Dividimos a equação por 16 para facilitar:
x^2 + y^2 + raiz2,x - tfrac12,y - tfrac7116 = 0
Agora completamos o quadrado em x e em y:
x^2 + raiz2,x = l(x + tfracraiz22r)^2 - tfrac12,
y^2 - tfrac12,y = l(y - tfrac14r)^2 - tfrac116
Substituindo:
l(x + tfracraiz22r)^2 - tfrac12 + l(y - tfrac14r)^2 - tfrac116 - tfrac7116 = 0
l(x + tfracraiz22r)^2 + l(y - tfrac14r)^2 = tfrac12 + tfrac116 + tfrac7116 = tfrac8016 = 5
Logo, o centro é
Cl(-tfracraiz22,,tfrac14r)
e o raio é
r = raiz5

Passo 3

Calculamos a distância de P(0,0) ao centro C:
d = raizl(0 + tfracraiz22r)^2 + l(0 - tfrac14r)^2 = raiztfrac12 + tfrac116 = raiztfrac816 + tfrac116 = raiztfrac916 = tfrac34

Passo 4

Comparamos d com r:
d = tfrac34 approx 0,75, r = raiz5 approx 2,24,
portanto d < r. Isso significa que P está estritamente mais perto do centro do que o raio, ou seja, no interior da circunferência.

Resposta

P está no interior da circunferência lambda.

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