Posição-limite de um centróide Determine o centróide da região limitada inferiormente pelo eixo x e superiormente pela curva y=1-x^{n}, sendo n um par positivo inteiro. Qual é a posiçãolimite do centróide quando n \rightarrow \infty ?

Passo 1

O enunciado pede o centróide da região limitada pelo eixo x (abaixo) e pela curva y=1-x^n (acima), com n inteiro par positivo. Precisamos usar as fórmulas de área e de coordenadas do centróide em termos de integrais:
A = \int_{0}^{1} (1 - x^n)\,dx,\quad \bar x = \frac{1}{A}\int_{0}^{1} x\,(1 - x^n)\,dx,\quad \bar y = \frac{1}{A}\int_{0}^{1} \frac{\bigl(1 - x^n\bigr)^2}{2}\,dx.

Passo 2

Calcular a área:
A = \int_{0}^{1} (1 - x^n)\,dx = \Bigl[x - \frac{x^{n+1}}{n+1}\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.

Passo 3

Calcular \bar x:
\int_{0}^{1} x\,(1 - x^n)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx \;-\;\int_{0}^{1} x^{n+1}\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} = \frac{n}{2(n+2)}.
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\bar x = \frac{\frac{n}{2(n+2)}}{\frac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{2(n+2)}.

Passo 4

Calcular \bar y:
\int_{0}^{1} \frac{(1 - x^n)^2}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \bigl(1 - 2x^n + x^{2n}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\Bigl[1 - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{2n+1}\Bigr] = \frac{n^2}{(n+1)(2n+1)}.
Dividindo por A=\tfrac{n}{n+1} obtém-se
\bar y = \frac{\frac{n^2}{(n+1)(2n+1)}}{\frac{n}{n+1}} = \frac{n}{2n+1}.

Passo 5

Determinar o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\bar x = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2(n+2)} = \frac{1}{2},\quad \lim_{n\to\infty}\bar y = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}.

Resposta

O centróide da região é
\Bigl(\bar x,\bar y\Bigr) =\Bigl(\tfrac{n+1}{2(n+2)},\,\tfrac{n}{2n+1}\Bigr)
e, no limite n\to\infty, ele tende a
\Bigl(\tfrac12,\tfrac12\Bigr).

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