Esfriando a sopa Em uma sala a uma temperatura constante de 70^{\circ} \mathrm{F}, a temperatura de um prato de sopa muda de 200^{\circ} ao meio-dia para 190^{\circ} às 13 horas. Prediga a temperatura da sopa às 15 h 30 .

Passo 1

O enunciado é um típico problema de Lei do Resfriamento de Newton. Temos uma sala mantida a temperatura constante de 70^\circ\mathrm{F} (temperatura ambiente) e um prato de sopa cuja temperatura cai de 200^\circ\mathrm{F} ao meio-dia para 190^\circ\mathrm{F} uma hora depois (às 13 h). Queremos prever a temperatura da sopa às 15 h 30, ou seja, 3{,}5 horas após o meio-dia.

Passo 2

Segundo a Lei de Newton do Resfriamento, a taxa de variação da temperatura T(t) da sopa satisfaz
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t) - T_{\text{amb}}\bigr),
onde T_{\text{amb}}=70^\circ\mathrm{F} e k>0 é a constante de resfriamento. A solução geral é
T(t) = T_{\text{amb}} + \bigl(T(0) - T_{\text{amb}}\bigr)e^{-k t}.
Aqui T(0)=200^\circ\mathrm{F} é a temperatura inicial ao meio-dia.

Passo 3

Usando o dado T(1)=190^\circ\mathrm{F} em t=1 hora, temos
190 = 70 + (200 - 70)e^{-k\cdot1} \quad\Longrightarrow\quad 120 = 130\,e^{-k} \quad\Longrightarrow\quad e^{-k} = \frac{120}{130} = \frac{12}{13}.
Logo
k = -\ln\!\Bigl(\tfrac{12}{13}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\tfrac{13}{12}\Bigr).

Passo 4

Para t=3{,}5 horas (15 h 30), substituímos na solução:
T(3{,}5) = 70 + 130\,e^{-k\cdot3{,}5} = 70 + 130\bigl(e^{-k}\bigr)^{3{,}5} = 70 + 130\Bigl(\tfrac{12}{13}\Bigr)^{3{,}5}.

Passo 5

Vamos aproximar numericamente:
\Bigl(\tfrac{12}{13}\Bigr)^{3{,}5} = \Bigl(\tfrac{12}{13}\Bigr)^{7/2} \approx 0{,}7569,
portanto
T(3{,}5)\approx 70 + 130\times0{,}7569 \approx 70 + 98{,}4 \approx 168{,}4^\circ\mathrm{F}.

Resposta

A temperatura da sopa às 15 h 30 é aproximadamente 168{,}4^\circ\mathrm{F}.

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