Quando é possível compor uma função com outra? Dê exemplos de compostas e seus valores em vários pontos. A ordem pela qual as funções são compostas é importante?

Passo 1

O enunciado pergunta quando podemos “colar” uma função dentro de outra (composição), pede para mostrarmos exemplos de funções compostas e avaliá-las em alguns pontos, e indaga se a ordem de composição faz diferença. O conteúdo aqui é teoria de funções, mais precisamente composição de funções.

Passo 2

Dadas duas funções f e g, a composição f\circ g só existe se toda imagem de g estiver dentro do domínio de f. Mais formalmente, se
g\colon D_g \to E_g \quad\text{e}\quad f\colon D_f \to E_f,
então f\circ g está bem-definida em
\{\,x\in D_g \mid g(x)\in D_f\}.

Passo 3

Considere f e g definidas por
f(x)=x^2, \quad D_f=\mathbb{R}, \qquad g(x)=x+1, \quad D_g=\mathbb{R}.
Como g(\mathbb{R})=\mathbb{R}\subseteq D_f, ambas composições existem:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=(x+1)^2, \qquad (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=x^2+1.

Passo 4

Vamos avaliar em x=2 e x=-1:
(f\circ g)(2)=(2+1)^2=9, \quad (g\circ f)(2)=2^2+1=5;
(f\circ g)(-1)=(-1+1)^2=0, \quad (g\circ f)(-1)=(-1)^2+1=2.

Passo 5

Exemplo de falha de composição: seja
h(x)=\sqrt{x}, \quad D_h=[0,\infty), \qquad k(x)=x-4, \quad D_k=\mathbb{R}.
Aqui h\circ k só está definido quando k(x)\ge0, ou seja x\ge4. Mas k\circ h existe em todo D_h porque h(x)\ge0 e k aceita todo real.

Passo 6

Em geral a ordem importa: em nosso exemplo polinomial
(f\circ g)(x)=(x+1)^2 \neq x^2+1=(g\circ f)(x).
Só em casos especiais (quando f e g “comutam”) temos f\circ g=g\circ f.

Resposta

A composição f\circ g é possível se e somente se g(D_g)\subseteq D_f. Exemplos:
(f\circ g)(x)=(x+1)^2 e (g\circ f)(x)=x^2+1, com valores distintos em x=2 e x=-1.
A ordem de composição é importante e em geral f\circ g\neq g\circ f.

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