Um cubo e um ortoedro têm ambos soma das arestas igual a 72 cm . A dimensão menor do ortoedro é 23 da aresta do cubo e a dimensão maior do ortoedro é 43 da dimensão menor do ortoedro. Determine a relação entre os volumes de ambos os sólidos.

Passo 1

Vamos montar o problema. Temos um cubo de aresta a e um ortoedro (paralelepípedo retângulo) cujas três dimensões são x, y e z. Ambos têm soma das arestas igual a 72,cm. Além disso, sabe-se que
– a menor aresta do ortoedro é tfrac23 da aresta do cubo;
– a maior aresta do ortoedro é tfrac43 da menor.
Queremos achar a relação entre os volumes do ortoedro e do cubo.

Passo 2

Calcular a aresta do cubo usando que a soma das arestas de um cubo é 12a. Temos
12a = 72
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a = 7212 = 6 cm

Passo 3

Para o ortoedro, a soma das arestas é
4,(x+y+z) = 72 Longrightarrow x+y+z = 18
Pelas condições do enunciado:
x = 23,a = 23times6 = 4,
z = 43,x = 43times4 = 163

Passo 4

Encontrar a aresta y faltante usando x+y+z=18:
y = 18 - x - z = 18 - 4 - 163 = 54 -12 -163 = 263

Passo 5

Calcular os volumes.
Volume do cubo:
Vcubo = a^3 = 6^3 = 216 cm^3
Volume do ortoedro:
Vorto = x,y,z = 4 times 263 times 163 = 4cdot26cdot169 = 16649 cm^3

Passo 6

Formar a razão entre os volumes:
VortoVcubo = tfrac16649216 = 16641944 = 208243
Ou seja,
Vorto : Vcubo = 208 : 243, Vcubo : Vorto = 243 : 208

Resposta

A relação entre os volumes é
Vortoedro : Vcubo = 208 : 243

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