Calcule as medidas x e y das arestas de dois cubos, conhecendo a soma x+y=ell ( ell é dado) e a soma dos volumes v^3 (v é dado). Discuta.

Solução

x+y=ell
x^3+y^3=v^3
(2) Rightarrow(x+y) cdot(x^2-x y+y^2)=v^3 Rightarrow x^2-x y+y^2=v^3ell
(1) Rightarrow(x+y)^2=ell^2 Rightarrow x^2+2 x y+y^2=ell^2
Fazendo (4) - (3), vem:
3 xy=ell^2-v^3ell Rightarrow xy=ell^3-v^33 ell (com ell^3-v^3>0)
Sabendo a soma (S) e o produto § de x e y dados por (1) e (4), montamos a equação z^2-S z+P=0, cujas raízes são x e y. Assim,
z^2-ell z+ell^3-v^33 ell=0 Rightarrow 3 ell z^2-3 ell^2 z+ell^3-v^3=0
Então, x=z1=3 ell^2+raiz3 ell(4 v^3-ell^3)6 ell e y=z2=3 ell^2-raiz3 ell(4 v^3-ell^3)6 ell.
Discussão: 1) 3 ell(4 v^3-ell^3) >= 0 Rightarrow 4 v^3-ell^3 >= 0 Rightarrow ell <= v raiz[3]4
2) ell^3-v^3>0 Rightarrow ell>v
Logo, v<ell <= v raiz[3]4.

Passo 1

O enunciado pede as arestas x e y de dois cubos tais que
x + y = ell,
x^3 + y^3 = v^3,
onde ell e v são dados. O conteúdo aqui é resolver um sistema simétrico usando a fatoração de soma de cubos e depois achar x e y pelas raízes de uma equação quadrática.

Passo 2

Usamos a fatoração
x^3+y^3=(x+y)l(x^2-xy+y^2r)=v^3
Como x+y=ell, obtemos
x^2-xy+y^2=v^3ell

Passo 3

Expandindo o quadrado da soma,
(x+y)^2=ell^2Longrightarrow x^2+2xy+y^2=ell^2

Passo 4

Subtraindo a expressão de passo 2 da de passo 3, temos
(x^2+2xy+y^2)-(x^2-xy+y^2) =3xy =ell^2-v^3ell,
logo
xy=ell^2-tfracv^3ell3 =ell^3-v^33ell

Passo 5

Agora x e y são raízes da equação
z^2-(x+y)z+xy=0 ;Longrightarrow; z^2-ell,z+ell^3-v^33ell=0

Passo 6

Para aplicar Bhaskara, multiplicamos por 3ell:
3ell,z^2-3ell^2,z+ell^3-v^3=0
O discriminante é
De<a=(3ell^2)^2-4,(3ell),(ell^3-v^3) =9ell^4-12ell(ell^3-v^3) =3elll(4v^3-ell^3r)
Pela fórmula, as raízes são
x=3ell^2+raiz3ell,(4v^3-ell^3)6ell, y=3ell^2-raiz3ell,(4v^3-ell^3)6ell

Passo 7

Para que x e y sejam reais e positivas, precisamos de
1) De<a>=0:Longrightarrow:4v^3-ell^3>=0:Longrightarrow:ell<= vraiz[3]4 2) xy>0:Longrightarrow:ell^3-v^3>0:Longrightarrow:ell>v
Combinando, a solução existe se e somente se
v<ell<= vraiz[3]4

Resposta

As arestas são
x=3ell^2+raiz3ell,(4v^3-ell^3)6ell, y=3ell^2-raiz3ell,(4v^3-ell^3)6ell,
e elas existem como números reais e positivos exatamente quando
v<ell<= vraiz[3]4

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