Calcule as medidas
e
das arestas de dois cubos, conhecendo a soma
(
é dado) e a soma dos volumes
(v é dado). Discuta.
Solução
(2)
(1)
Fazendo (4) - (3), vem:
Sabendo a soma (S) e o produto § de
e
dados por (1) e (4), montamos a equação
, cujas raízes são
e
. Assim,
Então,
e
.
Discussão: 1)
2)
Logo,
.
(1)
Sabendo a soma (S) e o produto § de
Então,
Discussão: 1)
2)
Passo 1
O enunciado pede as arestas
e
de dois cubos tais que
onde
e
são dados. O conteúdo aqui é resolver um sistema simétrico usando a fatoração de soma de cubos e depois achar
e
pelas raízes de uma equação quadrática.
Passo 2
Usamos a fatoração
Como
, obtemos
Passo 3
Expandindo o quadrado da soma,
Passo 4
Subtraindo a expressão de passo
da de passo
, temos
logo
Passo 5
Agora
e
são raízes da equação
Passo 6
Para aplicar Bhaskara, multiplicamos por
:
O discriminante é
Pela fórmula, as raízes são
Passo 7
Para que
e
sejam reais e positivas, precisamos de
)
)
Combinando, a solução existe se e somente se
Combinando, a solução existe se e somente se
Resposta
As arestas são
e elas existem como números reais e positivos exatamente quando