Qual é a probabilidade de uma mão de pôquer com sete cartas conter
três cartas de um tipo e dois pares de tipos diferentes?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao escolher aleatoriamente sete cartas de um baralho padrão de 52, obter exatamente uma trinca (três cartas do mesmo valor) e dois pares de valores distintos, de modo que se esgotem as sete cartas ( 3+2+2=7). Para isso vamos usar contagem clássica: contar quantas mãos satisfazem essa configuração e dividir pelo total de mãos possíveis.

Passo 2

Contagem das mãos favoráveis:
  1. Escolher o valor da trinca: há 13 valores possíveis.
  2. Para esse valor, escolher 3 das 4 cartas de naipe distinto: \displaystyle \binom{4}{3}.
  3. Dos 12 valores restantes, escolher 2 valores para formar os pares: \displaystyle \binom{12}{2}.
  4. Para cada um desses dois valores, escolher 2 dos 4 naipes: \displaystyle \binom{4}{2}^2.
Logo, o número de mãos favoráveis é
13 \times \binom{4}{3} \times \binom{12}{2} \times \binom{4}{2}^2.

Passo 3

Contagem do total de mãos possíveis de sete cartas:
\binom{52}{7}.

Passo 4

Agora montamos a probabilidade:
P = \frac{13 \times \binom{4}{3} \times \binom{12}{2} \times \binom{4}{2}^2}{\binom{52}{7}} = \frac{123552}{133784560} \approx 0{,}0009235.

Resposta

A probabilidade de obter exatamente uma trinca e dois pares em sete cartas é
\frac{13 \,\binom{4}{3}\,\binom{12}{2}\,\binom{4}{2}^2}{\binom{52}{7}} \approx 0{,}0009235.

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