Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\quad \int\left[(x-1)^{5}+3(x-1)^{2}+5\right] d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int\bigl[(x-1)^{5}+3(x-1)^{2}+5\bigr]\,dx.
O conteúdo envolve aplicação da linearidade das integrais e da regra de potência para funções do tipo (x-1)^{n}, além da integral de constante.

Passo 2

Usamos a linearidade para separar em três integrais:
\int(x-1)^{5}\,dx \;+\;3\int(x-1)^{2}\,dx \;+\;\int 5\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} com u=x-1:
\int(x-1)^{5}\,dx = \frac{(x-1)^{6}}{6},
\int(x-1)^{2}\,dx = \frac{(x-1)^{3}}{3} \quad\Longrightarrow\quad 3\int(x-1)^{2}\,dx = 3\cdot\frac{(x-1)^{3}}{3} = (x-1)^{3},
e a integral da constante é
\int 5\,dx = 5x.

Passo 4

Somando os três resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
F(x) = \frac{(x-1)^{6}}{6} \;+\;(x-1)^{3}\;+\;5x\;+\;C.

Passo 5

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) = \frac{d}{dx}\!\biggl[\frac{(x-1)^{6}}{6}\biggr] + \frac{d}{dx}\bigl[(x-1)^{3}\bigr] + \frac{d}{dx}[5x] = (x-1)^{5} + 3(x-1)^{2} + 5,
que coincide exatamente com o integrando.

Resposta

F(x) = \frac{(x-1)^{6}}{6} + (x-1)^{3} + 5x + C.

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