Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int t\left(t^{2}+1\right)^{5} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int t\,(t^{2}+1)^{5}\,dt e depois verificar se o resultado está correto derivando-o. O método apropriado aqui é a substituição, pois a derivada de t^{2}+1 aparece multiplicada por t.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = t^{2}+1,
logo
du = 2t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,dt = \tfrac12\,du.

Passo 3

No integrando, substituímos t^{2}+1 = u e t\,dt = \tfrac12\,du:
\int t\,(t^{2}+1)^{5}\,dt = \int u^{5}\,\Bigl(\tfrac12\,du\Bigr) = \tfrac12 \int u^{5}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\tfrac12 \int u^{5}\,du = \tfrac12 \cdot \frac{u^{6}}{6} = \frac{u^{6}}{12}.

Passo 5

Voltando à variável t, temos
\frac{u^{6}}{12} + C = \frac{(t^{2}+1)^{6}}{12} + C.

Passo 6

Para verificar, derivamos \displaystyle \frac{(t^{2}+1)^{6}}{12}:
\frac{d}{dt}\!\Bigl[\tfrac{(t^{2}+1)^{6}}{12}\Bigr] = \tfrac{6\,(t^{2}+1)^{5}\cdot 2t}{12} = t\,(t^{2}+1)^{5},
que é exatamente o integrando inicial.

Resposta

\frac{(t^{2}+1)^{6}}{12} + C

Exercícios de Livros Relacionados