Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int \frac{3 u-3}{\left(u^{2}-2 u+6\right)^{2}} d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3u-3}{\bigl(u^{2}-2u+6\bigr)^{2}}\,du
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois a derivada do denominador u^{2}-2u+6 aparece (até constante) no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
w = u^{2}-2u+6 \quad\Longrightarrow\quad dw = (2u-2)\,du = 2(u-1)\,du
Note que 3u-3 = 3(u-1), logo
(u-1)\,du = \frac{dw}{2} \quad\text{e}\quad 3(u-1)\,du = \frac{3}{2}\,dw.

Passo 3

Reescrevendo a integral em w:
\int \frac{3u-3}{(u^{2}-2u+6)^{2}}\,du = \int \frac{3(u-1)}{w^{2}}\,du = \frac{3}{2}\,\int \frac{dw}{w^{2}}.
Agora usamos que
\int w^{-2}\,dw = -\,w^{-1} + C.

Passo 4

Portanto
\frac{3}{2}\,\int w^{-2}\,dw = \frac{3}{2}\,\bigl(-w^{-1}\bigr) + C = -\frac{3}{2\,w} + C.
Voltando a u:
\boxed{ -\frac{3}{2\bigl(u^{2}-2u+6\bigr)} + C }.

Passo 5

Verificação por derivação. Seja
F(u) = -\frac{3}{2\,(u^{2}-2u+6)}.
Então
F'(u) = -\frac{3}{2}\,\bigl(-1\bigr)\,(u^{2}-2u+6)^{-2}\,(2u-2) = \frac{3\,(2u-2)}{2\,(u^{2}-2u+6)^{2}} = \frac{3(u-1)}{(u^{2}-2u+6)^{2}} = \frac{3u-3}{(u^{2}-2u+6)^{2}},
que coincide com o integrando original.

Resposta

-\frac{3}{2\,(u^{2}-2u+6)} + C

Exercícios de Livros Relacionados