Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int \frac{1}{x \ln x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{1}{x\,\ln x}\,dx
e depois verificar o resultado derivando-o. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \ln x,
pois sua derivada aparece no integrando. Então
du = \frac{1}{x}\,dx
e, portanto,
\frac{1}{x}\,dx = du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u e du, temos
\int \frac{1}{x\,\ln x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\bigl(\frac{1}{x}\,dx\bigr) = \int \frac{1}{u}\,du.
Agora integramos diretamente:
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x, obtemos
\ln\bigl|u\bigr| + C = \ln\bigl|\ln x\bigr| + C.
Logo, uma primitiva é
F(x) = \ln\bigl|\ln x\bigr| + C.

Passo 5

Verificação por derivação:
F'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl|\ln x\bigr|\Bigr] = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\,\ln x},
que coincide com o integrando original.

Resposta

\displaystyle \ln\bigl|\ln x\bigr| + C

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