Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos
e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar
os intervalos de crescimento e decaimento (monotonicidade),
os intervalos de concavidade para cima e para baixo,
assíntotas verticais e horizontais,
pontos de interseção com os eixos
e
,
máximos, mínimos, pontos de inflexão, cúspides e tangentes verticais.
Para isso vamos usar cálculo de derivadas (para monotonicidade e concavidade), limites em infinitos (para assíntotas) e resolução de equações simples (para interceptos e pontos críticos).
Passo 2
Calculemos a derivada primeira para ver onde
cresce ou decresce.
Como
para todo
, segue que
Logo,
é estritamente decrescente em todo o seu domínio
e não tem intervalos de crescimento.
Passo 3
Agora a derivada segunda para ver concavidade.
De novo
para todo
. Portanto a curva é concava para baixo em
e não existem intervalos de concavidade para cima.
Passo 4
Para assíntotas horizontais fazemos limites em
.
o que mostra que
(eixo
) é assíntota horizontal pela esquerda.
logo não há assíntota horizontal pela direita. Não há assíntotas verticais pois o domínio é
e
é contínua.
Passo 5
Intercepto com o eixo
(isto é, em
):
logo o ponto
.
Para achar intercepto com o eixo resolvemos
Para achar intercepto com o eixo
que não tem solução real. Portanto não há intercepto em
.
Passo 6
Como
nunca, não há pontos onde a derivada se anule, logo não existe máximo, mínimo nem ponto de sela. E como
nunca, não há ponto de inflexão. A função é suave (infinitamente diferenciável), então não há cúspides nem tangentes verticais.
Passo 7
O gráfico de
é um decaimento exponencial negativo:
Para
ele sobe (pelo gráfico) aproximando-se de
por baixo.
Em
passa por
.
Para
decai sem limite, indo a
.
Devemos marcar no esboço: a assíntota horizontal
, o ponto
, o fato de ser sempre decrescente e sempre côncavo para baixo.
Resposta
A função é decrescente em
e não cresce em nenhum intervalo. A concavidade é para baixo em todo
e não há concavidade para cima. Há assíntota horizontal
(nenhuma vertical). Intercepta o eixo
em
e não intercepta o eixo
. Não há máximos, mínimos, pontos de inflexão, cúspides nem tangentes verticais.