Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
f(t)=-2 e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(t) = -2e^{t}
determinar
\bullet os intervalos de crescimento e decaimento (monotonicidade),
\bullet os intervalos de concavidade para cima e para baixo,
\bullet assíntotas verticais e horizontais,
\bullet pontos de interseção com os eixos x e y,
\bullet máximos, mínimos, pontos de inflexão, cúspides e tangentes verticais.
Para isso vamos usar cálculo de derivadas (para monotonicidade e concavidade), limites em infinitos (para assíntotas) e resolução de equações simples (para interceptos e pontos críticos).

Passo 2

Calculemos a derivada primeira para ver onde f cresce ou decresce.
f'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-2e^{t}\bigr) = -2e^{t}.
Como e^{t}>0 para todo t\in\mathbb{R}, segue que
f'(t) = -2e^{t} < 0\quad\text{para todo }t.
Logo, f é estritamente decrescente em todo o seu domínio (-\infty,\infty) e não tem intervalos de crescimento.

Passo 3

Agora a derivada segunda para ver concavidade.
f''(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-2e^{t}\bigr) = -2e^{t}.
De novo f''(t)<0 para todo t. Portanto a curva é concava para baixo em (-\infty,\infty) e não existem intervalos de concavidade para cima.

Passo 4

Para assíntotas horizontais fazemos limites em t\to\pm\infty.
\lim_{t\to-\infty}f(t) = \lim_{t\to-\infty}(-2e^{t}) = 0^{-},
o que mostra que y=0 (eixo x) é assíntota horizontal pela esquerda.
\lim_{t\to+\infty}f(t) = -\infty,
logo não há assíntota horizontal pela direita. Não há assíntotas verticais pois o domínio é \mathbb{R} e f é contínua.

Passo 5

Intercepto com o eixo y (isto é, em t=0):
f(0) = -2e^{0} = -2,
logo o ponto (0,-2).
Para achar intercepto com o eixo x resolvemos
-2e^{t}=0,
que não tem solução real. Portanto não há intercepto em x.

Passo 6

Como f'(t)\neq 0 nunca, não há pontos onde a derivada se anule, logo não existe máximo, mínimo nem ponto de sela. E como f''(t)\neq 0 nunca, não há ponto de inflexão. A função é suave (infinitamente diferenciável), então não há cúspides nem tangentes verticais.

Passo 7

O gráfico de f(t)=-2e^{t} é um decaimento exponencial negativo:
\bullet Para t\to-\infty ele sobe (pelo gráfico) aproximando-se de y=0 por baixo.
\bullet Em t=0 passa por (0,-2).
\bullet Para t\to+\infty decai sem limite, indo a -\infty.
Devemos marcar no esboço: a assíntota horizontal y=0, o ponto (0,-2), o fato de ser sempre decrescente e sempre côncavo para baixo.

Resposta

A função é decrescente em (-\infty,\infty) e não cresce em nenhum intervalo. A concavidade é para baixo em todo (-\infty,\infty) e não há concavidade para cima. Há assíntota horizontal y=0 (nenhuma vertical). Intercepta o eixo y em (0,-2) e não intercepta o eixo x. Não há máximos, mínimos, pontos de inflexão, cúspides nem tangentes verticais.

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