Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos
e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar
– os intervalos de crescimento e decrescimento (monotonicidade),
– os intervalos de concavidade para cima e para baixo,
– pontos de inflexão,
– assíntotas horizontais e verticais,
– interceptos com os eixos e
,
– e verificar existência de máximos, mínimos, cúspides ou tangentes verticais.
– os intervalos de crescimento e decrescimento (monotonicidade),
– os intervalos de concavidade para cima e para baixo,
– pontos de inflexão,
– assíntotas horizontais e verticais,
– interceptos com os eixos
– e verificar existência de máximos, mínimos, cúspides ou tangentes verticais.
Conteúdo: derivada primeira para monotonicidade; derivada segunda para concavidade; limites no infinito para assíntotas; avaliação em
para intercepto; análise de zeros para intercepto em
.
Passo 2
Determinar domínio, interceptos e assíntotas.
O termo nunca se anula, logo o domínio é
.
Intercepto em :
O termo
Intercepto em
isto é, passa em
.
Não há solução de , logo não corta o eixo
.
Limites no infinito:
Não há solução de
Limites no infinito:
Portanto há duas assíntotas horizontais:
Não há assíntotas verticais.
Passo 3
Monotonicidade via derivada primeira.
Escrevendo , tem-se
Escrevendo
Como
e o denominador é sempre positivo, conclui-se
Logo
é estritamente crescente em
e não há máximos ou mínimos locais.
Passo 4
Concavidade via derivada segunda.
Seja . Calcula-se
Seja
Derivando de novo, obtém-se após simplificar
Anula-se
quando
, i.e.
O ponto de inflexão é
Para
tem
: concavidade para cima.
Para tem
: concavidade para baixo.
Para
Resposta
– Crescimento:
.
– Decrescimento: nenhum.
– Concavidade para cima: .
– Concavidade para baixo: .
– Ponto de inflexão: .
– Assíntotas horizontais: e
.
– Assíntotas verticais: nenhuma.
– Interseção com eixo :
.
– Interseção com eixo : nenhuma.
– Máximos/mínimos: nenhum.
– Cúspides/tangentes verticais: nenhuma.
– Decrescimento: nenhum.
– Concavidade para cima:
– Concavidade para baixo:
– Ponto de inflexão:
– Assíntotas horizontais:
– Assíntotas verticais: nenhuma.
– Interseção com eixo
– Interseção com eixo
– Máximos/mínimos: nenhum.
– Cúspides/tangentes verticais: nenhuma.