Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
f(x)=\frac{2}{1+3 e^{-2 x}}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=\frac{2}{1+3e^{-2x}}
determinar
– os intervalos de crescimento e decrescimento (monotonicidade),
– os intervalos de concavidade para cima e para baixo,
– pontos de inflexão,
– assíntotas horizontais e verticais,
– interceptos com os eixos x e y,
– e verificar existência de máximos, mínimos, cúspides ou tangentes verticais.
Conteúdo: derivada primeira para monotonicidade; derivada segunda para concavidade; limites no infinito para assíntotas; avaliação em x=0 para intercepto; análise de zeros para intercepto em x.

Passo 2

Determinar domínio, interceptos e assíntotas.
O termo 1+3e^{-2x} nunca se anula, logo o domínio é \mathbb{R}.
Intercepto em y:
f(0)=\frac{2}{1+3e^{0\cdot(-2)}}=\frac{2}{1+3}=\tfrac12,
isto é, passa em (0,\tfrac12).
Não há solução de f(x)=0, logo não corta o eixo x.
Limites no infinito:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{2}{1+0}=2, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\frac{2}{+\infty}=0.
Portanto há duas assíntotas horizontais:
y=0 \quad\text{e}\quad y=2.
Não há assíntotas verticais.

Passo 3

Monotonicidade via derivada primeira.
Escrevendo f(x)=2\,(1+3e^{-2x})^{-1}, tem-se
f'(x) =2\cdot(-1)(1+3e^{-2x})^{-2}\cdot(-6e^{-2x}) =\frac{12\,e^{-2x}}{(1+3e^{-2x})^{2}}.
Como e^{-2x}>0 e o denominador é sempre positivo, conclui-se
f'(x)>0\quad\forall\,x\in\mathbb{R}.
Logo f é estritamente crescente em (-\infty,\infty) e não há máximos ou mínimos locais.

Passo 4

Concavidade via derivada segunda.
Seja u=e^{-2x}. Calcula-se
f'(x)=\frac{12\,u}{(1+3u)^2}, \quad \frac{du}{dx}=-2u.
Derivando de novo, obtém-se após simplificar
f''(x) =-\frac{24\,e^{-2x}\bigl(1-3e^{-2x}\bigr)}{(1+3e^{-2x})^3}.
Anula-se f''(x)=0 quando 1-3e^{-2x}=0, i.e.
e^{-2x}=\frac13 \;\Longrightarrow\; -2x=-\ln3 \;\Longrightarrow\; x=\frac{\ln3}{2}.
O ponto de inflexão é
\Bigl(x,y\Bigr) =\bigl(\tfrac{\ln3}{2},\,f(\tfrac{\ln3}{2})\bigr) =\bigl(\tfrac{\ln3}{2},\,1\bigr).
Para x<\tfrac{\ln3}{2} tem e^{-2x}>1/3\implies f''(x)>0: concavidade para cima.
Para x>\tfrac{\ln3}{2} tem e^{-2x}<1/3\implies f''(x)<0: concavidade para baixo.

Resposta

– Crescimento: (-\infty,\infty).
– Decrescimento: nenhum.
– Concavidade para cima: \bigl(-\infty,\tfrac{\ln3}{2}\bigr).
– Concavidade para baixo: \bigl(\tfrac{\ln3}{2},\infty\bigr).
– Ponto de inflexão: \bigl(\tfrac{\ln3}{2},1\bigr).
– Assíntotas horizontais: y=0 e y=2.
– Assíntotas verticais: nenhuma.
– Interseção com eixo y: (0,\tfrac12).
– Interseção com eixo x: nenhuma.
– Máximos/mínimos: nenhum.
– Cúspides/tangentes verticais: nenhuma.

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