Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos
e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar os intervals de crescimento/decaimento, os intervals de concavidade para cima/para baixo, além de identificar pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, interseções com os eixos, cúspides e tangentes verticais. Vamos usar derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade, e limites para assíntotas.
Passo 2
Domínio e interseções:
O denominador nunca zera, logo o domínio é
.
Interseção com o eixo em
:
O denominador
Interseção com o eixo
Não há interseção com o eixo
, pois
para todo
. Não existem cúspides nem tangentes verticais, pois a função é
.
Passo 3
Derivada primeira e monotonicidade:
Como
e o denominador é sempre positivo, segue
para todo
. Portanto
é estritamente decrescente em
e não há intervalos de crescimento nem extremos locais.
Passo 4
Derivada segunda e concavidade:
Calculando obtemos
Calculando
O sinal de
vem de
:
- Se
(isto é, ), então e a curva é côncava para baixo. - Se
(isto é, ), então e a curva é côncava para cima.
Emocorre ponto de inflexão, com
Passo 5
Assíntotas horizontais:
Logo há assíntotas horizontais
(à esquerda) e
(à direita). Não há assíntotas verticais.
Resposta
Crescimento: nenhum.
Decaimento: .
Decaimento:
Concavidade para baixo:
.
Concavidade para cima: .
Concavidade para cima:
Ponto de inflexão:
.
Interseção com eixo
:
.
Nenhuma interseção com o eixo .
Nenhuma interseção com o eixo
Assíntotas horizontais:
e
.
Sem assíntotas verticais.
Sem assíntotas verticais.
Não há máximos nem mínimos locais, cúspides ou tangentes verticais.