Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
h(t)=\frac{2}{1+3 e^{2 t}}

Passo 1

O enunciado pede para a função
h(t)=\frac{2}{1+3e^{2t}}
determinar os intervals de crescimento/decaimento, os intervals de concavidade para cima/para baixo, além de identificar pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, interseções com os eixos, cúspides e tangentes verticais. Vamos usar derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade, e limites para assíntotas.

Passo 2

Domínio e interseções:
O denominador 1+3e^{2t} nunca zera, logo o domínio é \mathbb{R}.
Interseção com o eixo y em t=0:
h(0)=\frac{2}{1+3\cdot1}=\frac{2}{4}=\frac12.
Não há interseção com o eixo x, pois h(t)>0 para todo t. Não existem cúspides nem tangentes verticais, pois a função é C^\infty.

Passo 3

Derivada primeira e monotonicidade:
h'(t) =\frac{d}{dt}\Bigl[2(1+3e^{2t})^{-1}\Bigr] =-12\frac{e^{2t}}{(1+3e^{2t})^2}.
Como e^{2t}>0 e o denominador é sempre positivo, segue h'(t)<0 para todo t. Portanto h é estritamente decrescente em \mathbb{R} e não há intervalos de crescimento nem extremos locais.

Passo 4

Derivada segunda e concavidade:
Calculando h''(t) obtemos
h''(t) =24\,\frac{e^{2t}\bigl(-1+3e^{2t}\bigr)}{(1+3e^{2t})^3}.
O sinal de h''(t) vem de -1+3e^{2t}:
  • Se e^{2t}<\tfrac13 (isto é, t<-\tfrac{\ln(3)}2), então h''(t)<0 e a curva é côncava para baixo.
  • Se e^{2t}>\tfrac13 (isto é, t>-\tfrac{\ln(3)}2), então h''(t)>0 e a curva é côncava para cima.
    Em t=-\tfrac{\ln(3)}2 ocorre ponto de inflexão, com
h\Bigl(-\tfrac{\ln(3)}2\Bigr) =\frac{2}{1+3\cdot\frac13} =\frac{2}{2}=1.

Passo 5

Assíntotas horizontais:
\lim_{t\to-\infty}h(t) =\frac{2}{1+0}=2, \quad \lim_{t\to+\infty}h(t) =\frac{2}{\infty}=0.
Logo há assíntotas horizontais y=2 (à esquerda) e y=0 (à direita). Não há assíntotas verticais.

Resposta

Crescimento: nenhum.
Decaimento: \displaystyle(-\infty,\infty).
Concavidade para baixo: \displaystyle(-\infty,\,-\tfrac{\ln(3)}2).
Concavidade para cima: \displaystyle(-\tfrac{\ln(3)}2,\infty).
Ponto de inflexão:
\displaystyle\Bigl(-\tfrac{\ln(3)}2,\;1\Bigr).
Interseção com eixo y: \displaystyle(0,\tfrac12).
Nenhuma interseção com o eixo x.
Assíntotas horizontais: y=2 e y=0.
Sem assíntotas verticais.
Não há máximos nem mínimos locais, cúspides ou tangentes verticais.

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