Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos
e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– intervalos de crescimento e decrescimento (teste da primeira derivada);
– intervalos de concavidade para cima e para baixo (teste da segunda derivada);
– pontos importantes (máximos, mínimos, inflexão, interseções, assíntotas, cúspides, tangentes verticais);
– esboço do gráfico.
Para resolver, vamos usar: domínio e limites para assíntotas, para monotonia,
para concavidade.
– intervalos de crescimento e decrescimento (teste da primeira derivada);
– intervalos de concavidade para cima e para baixo (teste da segunda derivada);
– pontos importantes (máximos, mínimos, inflexão, interseções, assíntotas, cúspides, tangentes verticais);
– esboço do gráfico.
Para resolver, vamos usar: domínio e limites para assíntotas,
Passo 2
Determine domínio, interseções e limites no infinito.
O domínio é .
Interseção com o eixo :
O domínio é
Interseção com o eixo
logo o ponto
é também a interseção com o eixo
.
Limites para assíntotas horizontais:
Limites para assíntotas horizontais:
Daqui vem a assíntota horizontal
quando
; não há assíntota horizontal nem vertical para
.
Passo 3
Monotonia pelo teste da primeira derivada.
Calcule
Calcule
Como
sempre, o sinal de
é o de
:
– se
cresce em
.
– se
decresce em
.
Em temos
e troca de sinal de
para –, caracterizando um máximo local em
–
–
Em
Passo 4
Concavidade pelo teste da segunda derivada.
Calcule
Calcule
De novo
, então:
– se
concavidade para baixo em
.
– se
concavidade para cima em
.
Em há ponto de inflexão em
–
–
Em
Passo 5
Assíntotas, cúspides e tangentes verticais.
– Assíntota horizontal: para
.
– Não há assíntotas verticais (domínio inteiro).
– Não há cúspides nem tangentes verticais pois é finita em todo
.
– Assíntota horizontal:
– Não há assíntotas verticais (domínio inteiro).
– Não há cúspides nem tangentes verticais pois
Passo 6
Esboço e marcações finais.
– Para ,
(cai indefinidamente, concavidade para baixo).
– Cresce até o máximo , depois decresce; mantém concavidade para baixo até
.
– Em inflexão e daí passa a ser concava para cima enquanto decresce em direção à assíntota
.
– Interseção com eixos em .
No esboço, trace a curva passando por esses pontos, marcando máximo, inflexão e a reta como assíntota para
grande.
– Para
– Cresce até o máximo
– Em
– Interseção com eixos em
No esboço, trace a curva passando por esses pontos, marcando máximo, inflexão e a reta
Resposta
– Cresce em
; decresce em
.
– Concava para baixo em ; concava para cima em
.
– Máximo local em ; não há mínimo local.
– Ponto de inflexão em .
– Interseção com eixos em .
– Assíntota horizontal para
.
– Sem assíntotas verticais, cúspides ou tangentes verticais.
– Concava para baixo em
– Máximo local em
– Ponto de inflexão em
– Interseção com eixos em
– Assíntota horizontal
– Sem assíntotas verticais, cúspides ou tangentes verticais.