Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
f(x)=x e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x\,e^{-x}
e pede:
– intervalos de crescimento e decrescimento (teste da primeira derivada);
– intervalos de concavidade para cima e para baixo (teste da segunda derivada);
– pontos importantes (máximos, mínimos, inflexão, interseções, assíntotas, cúspides, tangentes verticais);
– esboço do gráfico.
Para resolver, vamos usar: domínio e limites para assíntotas, f'(x) para monotonia, f''(x) para concavidade.

Passo 2

Determine domínio, interseções e limites no infinito.
O domínio é \mathbb R.
Interseção com o eixo x:
f(x)=0\implies x\,e^{-x}=0\implies x=0,
logo o ponto (0,0) é também a interseção com o eixo y.
Limites para assíntotas horizontais:
\lim_{x\to+\infty}x\,e^{-x}=0,\qquad\lim_{x\to-\infty}x\,e^{-x}=-\infty.
Daqui vem a assíntota horizontal y=0 quando x\to+\infty; não há assíntota horizontal nem vertical para x\to-\infty.

Passo 3

Monotonia pelo teste da primeira derivada.
Calcule
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{-x}\bigr) =e^{-x}(1-x).
Como e^{-x}>0 sempre, o sinal de f'(x) é o de (1-x):
f'(x)>0 se x<1 \to f cresce em (-\infty,1).
f'(x)<0 se x>1 \to f decresce em (1,\infty).
Em x=1 temos f'(1)=0 e troca de sinal de + para –, caracterizando um máximo local em
\bigl(1,e^{-1}\bigr).

Passo 4

Concavidade pelo teste da segunda derivada.
Calcule
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[e^{-x}(1-x)\bigr] =e^{-x}(x-2).
De novo e^{-x}>0, então:
f''(x)<0 se x<2 \to concavidade para baixo em (-\infty,2).
f''(x)>0 se x>2 \to concavidade para cima em (2,\infty).
Em x=2 há ponto de inflexão em
\bigl(2,2e^{-2}\bigr).

Passo 5

Assíntotas, cúspides e tangentes verticais.
– Assíntota horizontal: y=0 para x\to+\infty.
– Não há assíntotas verticais (domínio inteiro).
– Não há cúspides nem tangentes verticais pois f'(x) é finita em todo x.

Passo 6

Esboço e marcações finais.
– Para x\to-\infty, f(x)\to-\infty (cai indefinidamente, concavidade para baixo).
– Cresce até o máximo \bigl(1,e^{-1}\bigr), depois decresce; mantém concavidade para baixo até x=2.
– Em x=2 inflexão e daí passa a ser concava para cima enquanto decresce em direção à assíntota y=0.
– Interseção com eixos em (0,0).
No esboço, trace a curva passando por esses pontos, marcando máximo, inflexão e a reta y=0 como assíntota para x grande.

Resposta

– Cresce em (-\infty,1); decresce em (1,\infty).
– Concava para baixo em (-\infty,2); concava para cima em (2,\infty).
– Máximo local em \bigl(1,e^{-1}\bigr); não há mínimo local.
– Ponto de inflexão em \bigl(2,2e^{-2}\bigr).
– Interseção com eixos em (0,0).
– Assíntota horizontal y=0 para x\to+\infty.
– Sem assíntotas verticais, cúspides ou tangentes verticais.

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