Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
f(x)=x e^{2-x}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=x\,e^{2-x}
determinando onde ela é crescente e decrescente, onde é côncava para cima e para baixo, além de identificar máximos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.

Passo 2

Domínio e interceptos: o domínio de f é \mathbb{R}, pois e^{2-x} está definido para todo x.
Para o intercepto em y:
f(0)=0\cdot e^{2-0}=0,
então passa pela origem (0,0).
Para o intercepto em x: resolvemos f(x)=0\Rightarrow x\,e^{2-x}=0, o que dá x=0.
Assíntotas: não há assíntas verticais (domínio todo).
Para x\to+\infty, temos e^{2-x}\to0^+ e x cresce, mas o exponencial domina, logo
\lim_{x\to+\infty}f(x)=0,
de modo que há assíntota horizontal y=0. Para x\to-\infty, f(x)\to-\infty, sem assíntota.

Passo 3

Monotonicidade e máximo local:
Calculamos a primeira derivada por produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{2-x}\bigr) =e^{2-x}+x\bigl(-e^{2-x}\bigr) =e^{2-x}(1-x).
A derivada zera em 1-x=0\Rightarrow x=1. Como e^{2-x}>0 sempre, o sinal de f'(x) vem de 1-x:
para x<1, 1-x>0 e f'>0 (função crescente);
para x>1, 1-x<0 e f'<0 (função decrescente).
Logo há um máximo local em x=1, com
f(1)=1\cdot e^{2-1}=e.

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão:
Derivando f'(x) obtemos
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[e^{2-x}(1-x)\bigr] =e^{2-x}(x-2).
O sinal vem de x-2:
para x<2, x-2<0 e f''<0 (côncava para baixo);
para x>2, x-2>0 e f''>0 (côncava para cima).
Há ponto de inflexão em x=2, com
f(2)=2\cdot e^{2-2}=2.

Passo 5

Esboço do gráfico e principais elementos:
  • Começa em -\infty para x\to-\infty, sobe de forma côncava para baixo até o máximo em (1,e).
  • De 1 a 2 decresce ainda côncava para baixo e em x=2 passa por inflexão em (2,2).
  • Para x>2 continua decrescendo, agora côncava para cima, aproximando-se da assíntota horizontal y=0.
  • Cruza os eixos em (0,0), não possui assíntotas verticais nem cúspides.

Resposta

Crescente em (-\infty,1)
Decrescente em (1,\infty)
Côncava para baixo em (-\infty,2)
Côncava para cima em (2,\infty)
Máximo local em \bigl(1,e\bigr)
Ponto de inflexão em \bigl(2,2\bigr)
Intercepto em (0,0)
Assíntota horizontal y=0
Sem assíntotas verticais nem cúspides

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