Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos
e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
determinando onde ela é crescente e decrescente, onde é côncava para cima e para baixo, além de identificar máximos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.
Passo 2
Domínio e interceptos: o domínio de
é
, pois
está definido para todo
.
Para o intercepto em :
Para o intercepto em
então passa pela origem
.
Para o intercepto em : resolvemos
, o que dá
.
Assíntotas: não há assíntas verticais (domínio todo).
Para , temos
e
cresce, mas o exponencial domina, logo
Para o intercepto em
Assíntotas: não há assíntas verticais (domínio todo).
Para
de modo que há assíntota horizontal
. Para
,
, sem assíntota.
Passo 3
Monotonicidade e máximo local:
Calculamos a primeira derivada por produto:
Calculamos a primeira derivada por produto:
A derivada zera em
. Como
sempre, o sinal de
vem de
:
para ,
e
(função crescente);
para ,
e
(função decrescente).
Logo há um máximo local em , com
para
para
Logo há um máximo local em
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão:
Derivando obtemos
Derivando
O sinal vem de
:
para ,
e
(côncava para baixo);
para ,
e
(côncava para cima).
Há ponto de inflexão em , com
para
para
Há ponto de inflexão em
Passo 5
Esboço do gráfico e principais elementos:
- Começa em
para , sobe de forma côncava para baixo até o máximo em . - De
a decresce ainda côncava para baixo e em passa por inflexão em . - Para
continua decrescendo, agora côncava para cima, aproximando-se da assíntota horizontal . - Cruza os eixos em
, não possui assíntotas verticais nem cúspides.
Resposta
Crescente em
Decrescente em
Côncava para baixo em
Côncava para cima em
Máximo local em
Ponto de inflexão em
Intercepto em
Assíntota horizontal
Sem assíntotas verticais nem cúspides
Decrescente em
Côncava para baixo em
Côncava para cima em
Máximo local em
Ponto de inflexão em
Intercepto em
Assíntota horizontal
Sem assíntotas verticais nem cúspides