Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos
e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente determine
. os intervalos em que
é crescente e decrescente,
. os intervalos em que a concavidade é para cima e para baixo,
. marque máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, interceptos com os eixos, cúspides e tangentes verticais, e plote o gráfico.
Conteúdo envolvido: derivadas primeira e segunda, teste de sinal da derivada para monotonicidade, teste de sinal da segunda derivada para concavidade, análise de limites para assíntotas, interceptos e regularidade da função.
Passo 2
Calcular a primeira derivada e achar pontos críticos.
Para
temos
Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Determinar monotonicidade pelo sinal de
.
Para ,
.
Para ,
.
Portanto:
– é decrescente em
.
– é crescente em
.
Em temos mudança de decrescente para crescente, logo um mínimo.
Para
Para
Portanto:
–
–
Em
Passo 4
Calcular a segunda derivada para concavidade.
Como
para todo
, a concavidade é sempre para cima.
Não há pontos de inflexão nem regiões de concavidade para baixo.
Não há pontos de inflexão nem regiões de concavidade para baixo.
Passo 5
Encontrar interceptos e simetrias.
– Intercepto com o eixo :
, ponto
.
– Interceptos com o eixo : solução de
não existe (soma de exponenciais positivas nunca zera).
– A função é par, pois ; o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
– Intercepto com o eixo
– Interceptos com o eixo
– A função é par, pois
Passo 6
Análise de assíntotas e regularidade.
– Limites em infinito:
– Limites em infinito:
Não há assíntotas horizontais nem verticais.
– A função é em
, portanto não tem cúspides nem tangentes verticais.
– Gráfico: curva em “U” suave, mínimo em , cresce exponencialmente para
, simétrica em
.
– A função é
– Gráfico: curva em “U” suave, mínimo em
Resposta
– Crescente em
.
– Decrescente em .
– Concavidade para cima em .
– Concavidade para baixo: nenhum intervalo.
– Mínimo global em ; não há máximos locais.
– Sem pontos de inflexão.
– Intercepto com eixo :
; sem interceptos com eixo
.
– Sem assíntotas verticais nem horizontais; sem cúspides; sem tangentes verticais.
– Gráfico: curva simétrica em , atinge o menor valor
em
e cresce exponencialmente para
.
– Decrescente em
– Concavidade para cima em
– Concavidade para baixo: nenhum intervalo.
– Mínimo global em
– Sem pontos de inflexão.
– Intercepto com eixo
– Sem assíntotas verticais nem horizontais; sem cúspides; sem tangentes verticais.
– Gráfico: curva simétrica em