Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
f(x)=e^{x}+e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=e^{x}+e^{-x},
que a gente determine
1. os intervalos em que f é crescente e decrescente,
2. os intervalos em que a concavidade é para cima e para baixo,
3. marque máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, interceptos com os eixos, cúspides e tangentes verticais, e plote o gráfico.
Conteúdo envolvido: derivadas primeira e segunda, teste de sinal da derivada para monotonicidade, teste de sinal da segunda derivada para concavidade, análise de limites para assíntotas, interceptos e regularidade da função.

Passo 2

Calcular a primeira derivada e achar pontos críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)=e^{x}-e^{-x}.
Para f'(x)=0 temos
e^{x}-e^{-x}=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{x}=e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Logo, o único ponto crítico é x=0.

Passo 3

Determinar monotonicidade pelo sinal de f'(x).
Para x>0, e^{2x}>1 \Rightarrow e^{x}>e^{-x} \Rightarrow f'(x)>0.
Para x<0, e^{2x}<1 \Rightarrow e^{x}<e^{-x} \Rightarrow f'(x)<0.
Portanto:
f é decrescente em (-\infty,0).
f é crescente em (0,\infty).
Em x=0 temos mudança de decrescente para crescente, logo um mínimo.

Passo 4

Calcular a segunda derivada para concavidade.
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)=e^{x}+e^{-x}.
Como e^{x}+e^{-x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, a concavidade é sempre para cima.
Não há pontos de inflexão nem regiões de concavidade para baixo.

Passo 5

Encontrar interceptos e simetrias.
– Intercepto com o eixo y: x=0 \Rightarrow f(0)=e^0+e^0=2, ponto (0,2).
– Interceptos com o eixo x: solução de e^{x}+e^{-x}=0 não existe (soma de exponenciais positivas nunca zera).
– A função é par, pois f(-x)=e^{-x}+e^{x}=f(x); o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 6

Análise de assíntotas e regularidade.
– Limites em infinito:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.
Não há assíntotas horizontais nem verticais.
– A função é C^\infty em \mathbb{R}, portanto não tem cúspides nem tangentes verticais.
– Gráfico: curva em “U” suave, mínimo em (0,2), cresce exponencialmente para x\to\pm\infty, simétrica em y.

Resposta

– Crescente em \,(0,\infty).
– Decrescente em (-\infty,0).
– Concavidade para cima em (-\infty,\infty).
– Concavidade para baixo: nenhum intervalo.
– Mínimo global em (0,2); não há máximos locais.
– Sem pontos de inflexão.
– Intercepto com eixo y: (0,2); sem interceptos com eixo x.
– Sem assíntotas verticais nem horizontais; sem cúspides; sem tangentes verticais.
– Gráfico: curva simétrica em y, atinge o menor valor 2 em x=0 e cresce exponencialmente para x\to\pm\infty.

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