Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos
e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
– intervalos de crescimento e decrescimento (usando ),
– intervalos de concavidade para cima e para baixo (usando ),
– máximos, mínimos e pontos de inflexão,
– assíntotas verticais e horizontais,
– pontos de interseção com os eixos,
– e outros detalhes do esboço do gráfico.
Para isso, vamos calcular ,
, estudar limites em
e
, e resolver
,
.
– intervalos de crescimento e decrescimento (usando
– intervalos de concavidade para cima e para baixo (usando
– máximos, mínimos e pontos de inflexão,
– assíntotas verticais e horizontais,
– pontos de interseção com os eixos,
– e outros detalhes do esboço do gráfico.
Para isso, vamos calcular
Passo 2
Domínio:
.
Limites para assíntotas:
Limites para assíntotas:
Intercepto em
:
, ponto
.
Não há intercepto em (domínio não inclui
).
Não há intercepto em
Passo 3
Derivada primeira:
Resolvendo
:
Como
, o sinal de
obedece a
:
– se
, isto é,
.
– se
, isto é,
.
Logo, é crescente em
e decrescente em
. O ponto crítico é
.
–
–
Logo,
Passo 4
Derivada segunda:
Resolvendo
:
Como
,
– para
(concavidade para baixo).
– para
(concavidade para cima).
Portanto há ponto de inflexão em .
–
–
Portanto há ponto de inflexão em
Passo 5
Classificação dos pontos importantes:
– Valor em :
– Valor em
é máximo local em
.
– Valor em :
– Valor em
é ponto de inflexão
.
Não há mínimos locais além do decrescimento para , nem cúspides ou tangentes verticais internas.
Não há mínimos locais além do decrescimento para
Passo 6
Esboço do gráfico:
– Domínio , assíntota vertical em
, horizontal em
.
– Intercepto em .
– Cresce de , atinge máximo em
, depois decresce para
.
– Ponto de inflexão em .
– Domínio
– Intercepto em
– Cresce de
– Ponto de inflexão em
Resposta
Crescimento:
.
Decrescimento: .
Concavidade para baixo: .
Concavidade para cima: .
Máximo local: .
Ponto de inflexão: .
Assíntotas: vertical em , horizontal em
.
Intercepto em :
.
Decrescimento:
Concavidade para baixo:
Concavidade para cima:
Máximo local:
Ponto de inflexão:
Assíntotas: vertical em
Intercepto em