Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
f(x)=\frac{\ln x}{x} \quad(

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{\ln x}{x}
e pede:
– intervalos de crescimento e decrescimento (usando f'),
– intervalos de concavidade para cima e para baixo (usando f''),
– máximos, mínimos e pontos de inflexão,
– assíntotas verticais e horizontais,
– pontos de interseção com os eixos,
– e outros detalhes do esboço do gráfico.
Para isso, vamos calcular f', f'', estudar limites em 0^+ e \infty, e resolver f'=0, f''=0.

Passo 2

Domínio: x>0.
Limites para assíntotas:
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x}=-\infty \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ é assíntota vertical.}éí
\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0\text{ é assíntota horizontal.}éí
Intercepto em x: \ln x=0\implies x=1, ponto (1,0).
Não há intercepto em y (domínio não inclui x=0).

Passo 3

Derivada primeira:
f'(x) =\frac{\frac1x\cdot x - \ln x\cdot1}{x^2} =\frac{1-\ln x}{x^2}.
Resolvendo f'(x)=0:
1-\ln x=0\implies \ln x=1\implies x=e.
Como x^2>0, o sinal de f' obedece a 1-\ln x:
f'(x)>0 se \ln x<1, isto é, 0<x<e.
f'(x)<0 se \ln x>1, isto é, x>e.
Logo, f é crescente em (0,e) e decrescente em (e,\infty). O ponto crítico é x=e.

Passo 4

Derivada segunda:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl((1-\ln x)x^{-2}\Bigr) =\frac{2\ln x-3}{x^3}.
Resolvendo f''(x)=0:
2\ln x-3=0\implies \ln x=\tfrac32\implies x=e^{3/2}.
Como x^3>0,
f''(x)<0 para 0<x<e^{3/2} (concavidade para baixo).
f''(x)>0 para x>e^{3/2} (concavidade para cima).
Portanto há ponto de inflexão em x=e^{3/2}.

Passo 5

Classificação dos pontos importantes:
– Valor em x=e:
f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac1e,
é máximo local em \bigl(e,1/e\bigr).
– Valor em x=e^{3/2}:
f\bigl(e^{3/2}\bigr) =\frac{\ln\bigl(e^{3/2}\bigr)}{e^{3/2}} =\frac{3/2}{e^{3/2}} =\frac{3}{2\,e^{3/2}},
é ponto de inflexão \bigl(e^{3/2},3/(2e^{3/2})\bigr).
Não há mínimos locais além do decrescimento para \infty, nem cúspides ou tangentes verticais internas.

Passo 6

Esboço do gráfico:
– Domínio (0,\infty), assíntota vertical em x=0, horizontal em y=0.
– Intercepto em (1,0).
– Cresce de (0,e), atinge máximo em \bigl(e,1/e\bigr), depois decresce para 0^+.
– Ponto de inflexão em \bigl(e^{3/2},3/(2e^{3/2})\bigr).

Resposta

Crescimento: (0,e).
Decrescimento: (e,\infty).
Concavidade para baixo: \bigl(0,e^{3/2}\bigr).
Concavidade para cima: \bigl(e^{3/2},\infty\bigr).
Máximo local: \bigl(e,\tfrac1e\bigr).
Ponto de inflexão: \bigl(e^{3/2},\tfrac{3}{2e^{3/2}}\bigr).
Assíntotas: vertical em x=0, horizontal em y=0.
Intercepto em x: (1,0).

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