Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
z=x^2+y^3-6 x y.

Passo 1

O enunciado nos dá a função z = x^2 + y^3 - 6xy e pede para determinar os pontos críticos e classificá-los usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Computamos as derivadas parciais primeiras:
partial zpartial x = 2x - 6y,
partial zpartial y = 3y^2 - 6x
Os pontos críticos satisfazem o sistema
2x - 6y = 0,
3y^2 - 6x = 0

Passo 3

Da primeira equação obtemos x = 3y. Substituindo na segunda:
3y^2 - 6(3y) = 0
3y^2 - 18y = 0
3y(y - 6) = 0
Logo y = 0 ou y = 6. Assim os pontos críticos são (0,0) e (18,6).

Passo 4

Calculamos as segundas derivadas:
partial^2 zpartial x^2 = 2, partial^2 zpartial y^2 = 6y, partial^2 zpartial x partial y = -6
O determinante da matriz Hessiana é
D(x,y) = partial^2 zpartial x^2,partial^2 zpartial y^2 - l(partial^2 zpartial x partial yr)^2 = 2cdot6y - (-6)^2 = 12y - 36

Passo 5

Avaliando em (0,0):
D(0,0) = 12cdot0 - 36 = -36 < 0,
logo (0,0) é ponto de sela.
Avaliando em (18,6):
D(18,6) = 12cdot6 - 36 = 36 > 0
e
partial^2 zpartial x^2(18,6) = 2 > 0,
logo (18,6) é mínimo local.

Resposta

(0,0) é ponto de sela.
(18,6) é mínimo local.

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