Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e classificá-los com o teste da segunda derivada (Hessiana). Vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiramente, igualá-las a zero para obter os candidatos, e depois usar as derivadas de segunda ordem para verificar se cada ponto é mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem e igualar a zero:
Para
Para
Agora, testando
:
e testando
:
Logo, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas de segunda ordem:
O determinante da Hessiana é
Em cada ponto crítico
, temos
.
Passo 4
Como
nos dois pontos, segundo o teste da segunda derivada cada um é ponto de sela.
Resposta
Pontos críticos:
e
,
ambos são pontos de sela.
ambos são pontos de sela.