Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
z=3 x y^2+y^2-3 x-6 y+7.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de z=3xy^2+y^2-3x-6y+7 e classificá-los com o teste da segunda derivada (Hessiana). Vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiramente, igualá-las a zero para obter os candidatos, e depois usar as derivadas de segunda ordem para verificar se cada ponto é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem e igualar a zero:
zx = partial zpartial x=3,y^2 - 3.
Para zx=0 temos
3,y^2 - 3 = 0 Longrightarrow y^2 = 1 Longrightarrow y = pm 1
zy = partial zpartial y=6,x,y + 2,y - 6 = y,(6x+2) - 6
Para zy=0 escrevemos
y,(6x+2) - 6 = 0 Longrightarrow 6x+2 = 6y Longrightarrow x = 6/y - 26 = 1y - 13
Agora, testando y=1:
x = 1 - tfrac13 = tfrac23,
e testando y=-1:
x = -1 - tfrac13 = -tfrac43
Logo, os pontos críticos são l(tfrac23,1r) e l(-tfrac43,-1r).

Passo 3

Calcular as derivadas de segunda ordem:
zxx = partialpartial x(3y^2-3) = 0,
zyy = partialpartial y(6xy + 2y - 6) = 6x+2,
zxy = partialpartial y(3y^2-3) = 6y
O determinante da Hessiana é
D = zxx,zyy - (zxy)^2 = 0cdot(6x+2) - (6y)^2 = -36,y^2
Em cada ponto crítico y=pm1, temos D = -36 < 0.

Passo 4

Como D<0 nos dois pontos, segundo o teste da segunda derivada cada um é ponto de sela.

Resposta

Pontos críticos:
l(tfrac23,1r) e l(-tfrac43,-1r),
ambos são pontos de sela.

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