Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
7.
7.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva de nível de
que passa por
e, em seguida, desenhar o vetor gradiente nessa posição. Os conceitos envolvidos são curvas de nível (conjuntos onde
) e gradiente (vetor das derivadas parciais de
).
Passo 2
Calcule o valor de
em
:
Logo a curva de nível procurada é dada por
Passo 3
Reescrevendo a equação:
vemos que é um hiperboloide plano (hipérbole) centrado em
com ramos abertos para cima e para baixo ao longo do eixo
. No esboço, marque o centro em
e desenhe dois ramos verticais passando por
e
.
Passo 4
Determine o gradiente de
:
Em
isso dá
Esse vetor aponta para baixo, é perpendicular à hipérbole e indica a direção de crescimento máximo de
.
Resposta
A curva de nível é o hipérbole de equação
e o vetor gradiente em
é
desenhado como uma seta vertical para baixo em
.