Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
7. f(x, y)=(x-1)^2-y^2 ;(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva de nível de f(x,y)=(x-1)^2-y^2 que passa por (1,1) e, em seguida, desenhar o vetor gradiente nessa posição. Os conceitos envolvidos são curvas de nível (conjuntos onde f(x,y)=constante) e gradiente (vetor das derivadas parciais de f).

Passo 2

Calcule o valor de f em (1,1):
f(1,1) = (1-1)^2 - 1^2 = -1
Logo a curva de nível procurada é dada por
(x-1)^2 - y^2 = -1

Passo 3

Reescrevendo a equação:
y^2 - (x-1)^2 = 1,
vemos que é um hiperboloide plano (hipérbole) centrado em (1,0) com ramos abertos para cima e para baixo ao longo do eixo y. No esboço, marque o centro em (1,0) e desenhe dois ramos verticais passando por (1,1) e (1,-1).

Passo 4

Determine o gradiente de f:
nabla f(x,y) = l(2(x-1),,-2yr)
Em (1,1) isso dá
nabla f(1,1) = (0,,-2)
Esse vetor aponta para baixo, é perpendicular à hipérbole e indica a direção de crescimento máximo de f.

Resposta

A curva de nível é o hipérbole de equação
(x-1)^2 - y^2 = -1,
e o vetor gradiente em (1,1) é
nabla f(1,1) = (0,,-2),
desenhado como uma seta vertical para baixo em (1,1).

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