Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
5.
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Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva de nível de
que passa pelo ponto
e também desenhar o vetor gradiente de
nesse ponto. O conteúdo aqui envolve curvas de nível de funções de duas variáveis e o cálculo do gradiente.
Passo 2
Calculamos o valor da função em
:
Portanto, a curva de nível que nos interessa é aquela para a qual
.
Passo 3
A equação da curva de nível é
Para esboçar essa curva, note que ela é uma elipse centrada na origem com semi-eixos dados por:
– no eixo : quando
,
,
– no eixo : quando
,
.
Assim, basta desenhar a elipse que toca e
, passando por
.
– no eixo
– no eixo
Assim, basta desenhar a elipse que toca
Passo 4
O gradiente de
é dado por
Em
obtemos
No esboço, o vetor
deve partir do ponto
apontando na direção indicada, perpendicular à elipse naquele ponto.
Resposta
A curva de nível é a elipse
e o gradiente em
é