Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
5. f(x, y)=x^24+y^29 ;(-2,-3)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva de nível de f(x,y)=x^24+y^29 que passa pelo ponto (-2,-3) e também desenhar o vetor gradiente de f nesse ponto. O conteúdo aqui envolve curvas de nível de funções de duas variáveis e o cálculo do gradiente.

Passo 2

Calculamos o valor da função em (-2,-3):
f(-2,-3)=(-2)^24+(-3)^29 =44+99 =1+1 =2
Portanto, a curva de nível que nos interessa é aquela para a qual f(x,y)=2.

Passo 3

A equação da curva de nível é
x^24+y^29=2
Para esboçar essa curva, note que ela é uma elipse centrada na origem com semi-eixos dados por:
– no eixo x: quando y=0, x^2/4=2 Rightarrow x=pm2raiz2,
– no eixo y: quando x=0, y^2/9=2 Rightarrow y=pm3raiz2.
Assim, basta desenhar a elipse que toca l(pm2raiz2,0r) e l(0,pm3raiz2r), passando por (-2,-3).

Passo 4

O gradiente de f é dado por
nabla f(x,y) =l(tfracpartial fpartial x,,tfracpartial fpartial yr) =l(x2,,2y9r)
Em (-2,-3) obtemos
nabla f(-2,-3) =l(-22,,2cdot(-3)9r) =(-1,,-tfrac23)
No esboço, o vetor nabla f(-2,-3)=(-1,-tfrac23) deve partir do ponto (-2,-3) apontando na direção indicada, perpendicular à elipse naquele ponto.

Resposta

A curva de nível é a elipse
x^24+y^29=2
e o gradiente em (-2,-3) é
nabla f(-2,-3)=(-1,,-tfrac23)

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