Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
12. F(x, y, z)=x^2-y^2+z ;(0,-1,1)

Passo 1

O enunciado dá a função de três variáveis
F(x,y,z)=x^2-y^2+z
e pede para esboçar a superfície de nível que passa por (0,-1,1) e, nesse ponto, desenhar o vetor gradiente. Vamos precisar (a) achar o valor do nível k e a equação da superfície de nível, (b) reconhecer seu formato e (c) calcular nabla F em (0,-1,1).

Passo 2

Primeiro achamos o nível k avaliando F no ponto dado:
k = F(0,-1,1) = 0^2 - (-1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0
Logo a superfície de nível é
F(x,y,z)=0 Long<=ftrightarrow x^2-y^2+z=0 Long<=ftrightarrow z = y^2 - x^2

Passo 3

A equação
z = y^2 - x^2
é um paraboloide hiperbólico (sela). Para esboçar, vale observar duas seções principais:
  1. em x=0, sobra z=y^2, que é um ramo parabólico para cima;
  2. em y=0, sobra z=-x^2, que é um ramo parabólico para baixo.
    Juntando esses perfis, obtemos o “sela” que se abre para cima segundo o eixo y e para baixo segundo o eixo x.

Passo 4

O gradiente de F é
nabla F(x,y,z) = l(2x,,-2y,,1r)
No ponto (0,-1,1) isso vale
nabla F(0,-1,1) = (2cdot0,,-2cdot(-1),,1) = (0,2,1)
Esse vetor é normal à superfície de nível naquele ponto e aponta na direção de máximo crescimento de F.

Resposta

A superfície de nível é o paraboloide hiperbólico
z = y^2 - x^2,
e o vetor gradiente em (0,-1,1) é
nabla F(0,-1,1) = lang<= 0,,2,,1rang<=

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