Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
12.
12.
Passo 1
O enunciado dá a função de três variáveis
e pede para esboçar a superfície de nível que passa por
e, nesse ponto, desenhar o vetor gradiente. Vamos precisar (a) achar o valor do nível
e a equação da superfície de nível, (b) reconhecer seu formato e (c) calcular
em
.
Passo 2
Primeiro achamos o nível
avaliando
no ponto dado:
Logo a superfície de nível é
Passo 3
A equação
é um paraboloide hiperbólico (sela). Para esboçar, vale observar duas seções principais:
- em
, sobra , que é um ramo parabólico para cima; - em
, sobra , que é um ramo parabólico para baixo.
Juntando esses perfis, obtemos o “sela” que se abre para cima segundo o eixoe para baixo segundo o eixo .
Passo 4
O gradiente de
é
No ponto
isso vale
Esse vetor é normal à superfície de nível naquele ponto e aponta na direção de máximo crescimento de
.
Resposta
A superfície de nível é o paraboloide hiperbólico
e o vetor gradiente em
é