PRODUÇÃO A Fazenda Boa Esperança calcula que, se 100 x homens-horas de trabalho forem usados em y hectares de terra, o número de sacos de trigo produzidos será f(x, y)=A x^{a} y^{b}, em que A, a e b são constantes positivas. Suponha que a fazenda decida multiplicar por dois os fatores de produção x e y. Determine de que forma essa decisão afeta a produção de trigo nos seguintes casos:
a. \quad a+b<1
b. \quad a+b>1

Passo 1

O enunciado apresenta a função de produção do tipo Cobb–Douglas
f(x,y)=A\,x^{a}\,y^{b}
com A,a,b>0, em que x e y são fatores de produção. Pergunta-se como muda a produção se x e y forem dobrados simultaneamente. O que precisamos usar é o conceito de retornos de escala, obtido ao calcular f(2x,2y).

Passo 2

Vamos calcular diretamente
f(2x,2y) = A\,(2x)^{a}\,(2y)^{b} = A\,2^{a}x^{a}\,2^{b}y^{b} = 2^{\,a+b}\,\bigl(A\,x^{a}y^{b}\bigr) = 2^{\,a+b}\,f(x,y).

Passo 3

O fator de multiplicação da produção ao dobrar os insumos é 2^{\,a+b}.
  • Se a+b<1, então 2^{\,a+b}<2, ou seja, a produção fica menos que o dobro (retornos de escala decrescentes).
  • Se a+b>1, então 2^{\,a+b}>2, ou seja, a produção fica mais que o dobro (retornos de escala crescentes).

Resposta

a. Se a+b<1, a produção aumenta por um fator 2^{\,a+b}<2; ocorre retorno de escala decrescente.
b. Se a+b>1, a produção aumenta por um fator 2^{\,a+b}>2; ocorre retorno de escala crescente.

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