Dados a, b, c in N, através de sua decomposição canônica: a=3^2 cdot 19 cdot 71^2, b=2 cdot 3^5 cdot 19 cdot 61, c=2^4 cdot 19^2 cdot 71, ache:
mdc (a, b)

Passo 1

O enunciado nos dá os números em decomposição canônica:
a = 3^2 cdot 19^1 cdot 71^2, b = 2^1 cdot 3^5 cdot 19^1 cdot 61^1
O conteúdo aqui é cálculo de máximo divisor comum usando fatoração prima: basta tomar cada primo comum com o menor expoente.

Passo 2

Identificamos os expoentes de cada primo em a e em b:
  • Para o primo 2:
expoente em a = 0, expoente em b = 1
  • Para o primo 3:
expoente em a = 2, expoente em b = 5
  • Para o primo 19:
expoente em a = 1, expoente em b = 1
  • Os primos 61 e 71 não são comuns a a e b.

Passo 3

Para cada primo comum, tomamos o menor expoente:
min(0,1)=0, min(2,5)=2, min(1,1)=1
Logo, o máximo divisor comum é
gcd(a,b)=2^0cdot3^2cdot19^1=3^2cdot19

Resposta

gcd(a,b)=3^2cdot19=9cdot19=171

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