Prove que todo número natural do tipo
admite um divisor do mesmo tipo.
Resoluçāo: Os divisores primos de
são de dois tipos:
e
. Se todos fossem do primeiro tipo, entāo:
o que nảo é possível.
Resoluçāo: Os divisores primos de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo natural da forma
tem algum divisor também congruente a
módulo
. O conteúdo envolvido é teoria dos números básica: fatoração em primos e aritmética modular (resíduos módulo
).
Passo 2
Seja
. Como
o primo
não pode dividir
. Logo, todos os primos que aparecem na fatoração de
deixam resto
ou resto
ao dividir por
. Em outras palavras, cada primo divisor é da forma
ou da forma
.
Passo 3
Suponha, visando contradição, que todos os primos divisores de
sejam da forma
. Então, se
com cada
, o produto também seria congruente a
módulo
, pois
e assim
Isso contradiz
. Portanto, não é possível que todos os primos divisores sejam
módulo
.
Passo 4
Da contradição do passo anterior, conclui-se que na fatoração de
deve haver pelo menos um primo
tal que
ou seja,
. Esse
é um divisor de
e tem exatamente o mesmo tipo
pedido.
Resposta
Todo número natural da forma
possui um divisor da forma
.