Prove que todo número natural do tipo 3 n+2 admite um divisor do mesmo tipo.
Resoluçāo: Os divisores primos de 3 n+2 são de dois tipos: 3 r+1 e 3 s+2. Se todos fossem do primeiro tipo, entāo:
3 n+2=(3 r1+1)(3 r2+1) ldots(3 rk+1)=3 r+1
o que nảo é possível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo natural da forma 3n+2 tem algum divisor também congruente a 2 módulo 3. O conteúdo envolvido é teoria dos números básica: fatoração em primos e aritmética modular (resíduos módulo 3).

Passo 2

Seja N=3n+2. Como
Nequiv2pmod3,
o primo 3 não pode dividir N. Logo, todos os primos que aparecem na fatoração de N deixam resto 1 ou resto 2 ao dividir por 3. Em outras palavras, cada primo divisor é da forma 3r+1 ou da forma 3s+2.

Passo 3

Suponha, visando contradição, que todos os primos divisores de N sejam da forma 3r+1. Então, se
N = p1^alpha1p2^alpha2cdots pk^alphak
com cada pi=3ri+1, o produto também seria congruente a 1 módulo 3, pois
(3ri+1)^alphaiequiv1^alphaiequiv1pmod3,
e assim
Nequiv1cdot1cdots1equiv1pmod3
Isso contradiz Nequiv2pmod3. Portanto, não é possível que todos os primos divisores sejam 1 módulo 3.

Passo 4

Da contradição do passo anterior, conclui-se que na fatoração de N deve haver pelo menos um primo q tal que
qequiv2pmod3,
ou seja, q=3k+2. Esse q é um divisor de N e tem exatamente o mesmo tipo 3k+2 pedido.

Resposta

Todo número natural da forma 3n+2 possui um divisor da forma 3k+2.

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