PRODUTOS SUBSTITUTOS E COMPLEMENTARES A função demanda de manteiga é
D_{1}\left(p_{1}, p_{2}\right)=800-0,03 p_{1}^{2}-0,04 p_{2}^{2}
e a função demanda de um segundo produto é
D_{2}\left(p_{1}, p_{2}\right)=500-0,002 p_{1}^{3}-p_{1} p_{2}
É mais provável que o segundo produto seja pão ou margarina? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as demandas de manteiga e de um segundo produto em função dos preços p_{1} (manteiga) e p_{2} (segundo produto):
D_{1}(p_{1},p_{2})=800-0,03\,p_{1}^{2}-0,04\,p_{2}^{2},
D_{2}(p_{1},p_{2})=500-0,002\,p_{1}^{3}-p_{1}p_{2}.
A questão pede para identificar se o segundo produto tende a ser pão ou margarina, sabendo que margarina e manteiga são substitutos e pão e manteiga são complementares. Para isso vamos usar o sinal da derivada parcial cruzada.

Passo 2

Em teoria microeconômica, se
\frac{\partial D_{2}}{\partial p_{1}}>0
os bens são substitutos (aumenta preço de manteiga, aumenta demanda do outro); se
\frac{\partial D_{2}}{\partial p_{1}}<0
são complementares (aumenta preço de manteiga, cai demanda do outro).

Passo 3

Calcular a derivada parcial de D_{2} em relação a p_{1}:
\frac{\partial D_{2}}{\partial p_{1}} =\frac{\partial}{\partial p_{1}}\bigl(500-0,002\,p_{1}^{3}-p_{1}p_{2}\bigr) =-0,002\cdot 3\,p_{1}^{2}-p_{2} =-0,006\,p_{1}^{2}-p_{2}.

Passo 4

Como p_{1}^{2}\ge0 e p_{2}>0 em condições normais de mercado, tem-se
\frac{\partial D_{2}}{\partial p_{1}}=-0,006\,p_{1}^{2}-p_{2}<0,
logo são bens complementares.

Passo 5

Margarina seria substituto da manteiga, mas a relação que encontramos é de complementaridade. Portanto, o segundo produto é mais provavelmente pão.

Resposta

O segundo produto é mais provavelmente pão, pois a derivada cruzada negativa indica que pão e manteiga são complementares.

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