(UF-PI) Um professor da disciplina Cálculo I da UFPI observou que a média das notas da turma estava baixa, por isso resolveu aumentar em 1,0 (um) ponto cada nota dos seus alunos. O que se pode afirmar sobre a nova média e o novo desvio padrão dessa turma?
a) A média e o desvio padrão permaneceram inalterados.
b) Não houve alteração na média, porém o desvio padrão se alterou em 1,0 (um) ponto.
c) A média se alterou em 1,0 (um) ponto e não houve alteração no desvio padrão.
d) Nada se pode afirmar, pois não se sabe o número de alunos da turma.
e) Ambas se alteraram em 1,0 (um) ponto.

Passo 1

O enunciado diz que a cada nota xi de uma turma foi somado 1 ponto, gerando novas notas xi' = xi + 1. O conteúdo envolvido é a propriedade de como média e desvio padrão se comportam sob a transformação aditiva ximapsto xi+c.

Passo 2

Sejam
mu = 1nsumi=1^nxi
a média original e
mu' = 1nsumi=1^nxi'
a nova média. Então
mu' = 1nsumi=1^n(xi+1) = 1nl(sumi=1^nxi + sumi=1^n1r) = mu + 1
Logo, a média aumenta exatamente 1 ponto.

Passo 3

Sejam
sigma^2 = 1nsumi=1^n(xi-mu)^2
a variância original e
sigma'^2 = 1nsumi=1^n(xi'-mu')^2
a nova variância. Como xi'-mu'=(xi+1)-(mu+1)=xi-mu, temos
sigma'^2 = 1nsumi=1^n(xi-mu)^2 = sigma^2,
isto é, a variância (e portanto o desvio padrão sigma) permanece inalterada.

Resposta

A média se alterou em 1,0 ponto e não houve alteração no desvio padrão. (c)

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