PROJETO DE EQUIPE. Séries para os problemas de Neumann e Dirichlet
(a) Mostre que
são soluções da equação de Laplace
com
dada por (5). (Quais seriam os
em coordenadas polares? Experimente com pequenos valores de n.)
(b) Problema de Dirichlet (Veja a Seção 12.5) Supondo que a derivação termo a termo seja possível, mostre que uma solução da equação de Laplace no disco
satisfazendo à condição de contorno
dada) é
na qual
são os coeficientes de Fourier de
(veja a Seção 11.1).
(c) Problema de Dirichlet Resolva o problema de Dirichlet usando (20) se
e as condições de contorno são
se
se
(esboce esse disco e indique os valores do contorno).
(d) Problema de Neumann Mostre que a solução do problema de Neumann
se
(sendo que
é a derivada direcional na direção da normal externa) é
arbitrário e
(e) Condição de compatibilidade Mostre que (9) da Seção 10.4 impõe em
de (d) a “condição de compatibilidade”
(f) Problema de Neumann Resolva
no anel
se $u_{r}(1, \theta)=\operatorname{sen} \theta, u_{r}(3, \theta)=0.
(a) Mostre que
(b) Problema de Dirichlet (Veja a Seção 12.5) Supondo que a derivação termo a termo seja possível, mostre que uma solução da equação de Laplace no disco
(c) Problema de Dirichlet Resolva o problema de Dirichlet usando (20) se
(d) Problema de Neumann Mostre que a solução do problema de Neumann
Passo 1
O enunciado pede para usar séries de Fourier e separação de variáveis para resolver a equação de Laplace
em coordenadas polares
. Vamos precisar do laplaciano em polares, da expansão de uma função
em série de Fourier e da imposição das condições de contorno (Dirichlet e Neumann).
Passo 2
Em coordenadas polares o laplaciano vale
Para
temos
Logo
O mesmo vale para
. Assim essas duas famílias são soluções de Laplace.
Passo 3
Para o problema de Dirichlet no disco
buscamos
Impondo
e usando a série de Fourier de
,
vemos que esses mesmos
servem na solução interior, assumindo que se pode derivar termo a termo.
Passo 4
No caso
a função é ímpar em
.
Calcula-se
que é zero se
é par e
se
é ímpar. Assim
Passo 5
No problema de Neumann no disco
impomos
Da forma geral
vem
Comparando com a série de Fourier de
obtém-se
com
arbitrário.
Passo 6
A condição de compatibilidade do problema de Neumann é que
ou seja
Passo 7
No anel
a solução geral em modos de Fourier inclui
e
. Como as condições
têm só modo
, basta
Então
e
dá
,
. Assim
Resposta
(a) As funções
satisfazem
.
(b) Para o disco ,
(b) Para o disco
com
(c) Se
e
em cada semicírculo, então
(d) No problema de Neumann no disco,
com
(e) A compatibilidade exige
(f) No anel com
,
,
(f) No anel