PROJETO DE EQUIPE. Séries para os problemas de Neumann e Dirichlet
(a) Mostre que u_{n}=r^{n} \cos n \theta, u_{n}=r^{n} \operatorname{sen} n \theta, n=0,1, \cdots são soluções da equação de Laplace \nabla^{2} u=0 com \nabla^{2} u dada por (5). (Quais seriam os u_{n} em coordenadas polares? Experimente com pequenos valores de n.)
(b) Problema de Dirichlet (Veja a Seção 12.5) Supondo que a derivação termo a termo seja possível, mostre que uma solução da equação de Laplace no disco r<R satisfazendo à condição de contorno u(R, \theta)=f(\theta)(\operatorname{com} f dada) é
\begin{aligned} u(r, \theta)= & a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\left(\frac{r}{R}\right)^{n} \cos n \theta\right. \\\ & \left.+b_{n}\left(\frac{r}{R}\right)^{n} \operatorname{sen} n \theta\right] \end{aligned}
na qual a_{n}, b_{n} são os coeficientes de Fourier de f (veja a Seção 11.1).
(c) Problema de Dirichlet Resolva o problema de Dirichlet usando (20) se R=1 e as condições de contorno são u(\theta)=-100 \mathrm{~V} se -\pi<\theta<0, u(\theta)=100 \mathrm{~V} se 0<\theta<\pi (esboce esse disco e indique os valores do contorno).
(d) Problema de Neumann Mostre que a solução do problema de Neumann \nabla^{2} u=0 se r<R, u_{N}(R, \theta)=f(\theta) (sendo que u_{N}= \partial u / \partial N é a derivada direcional na direção da normal externa) é
u(r, \theta)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}\left(A_{n} \cos n \theta+B_{n} \operatorname{sen} n \theta\right)
\operatorname{com} A_{0} arbitrário e
\begin{aligned} A_{n} & =\frac{1}{\pi n R^{n-1}} \int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) \cos n \theta d \theta \\\ B_{n} & =\frac{1}{\pi n R^{n-1}} \int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) \operatorname{sen} n \theta d \theta \end{aligned}
(e) Condição de compatibilidade Mostre que (9) da Seção 10.4 impõe em f(\theta) de (d) a “condição de compatibilidade”
\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) d \theta=0
(f) Problema de Neumann Resolva \nabla^{2} u=0 no anel 1<r<3 se $u_{r}(1, \theta)=\operatorname{sen} \theta, u_{r}(3, \theta)=0.

Passo 1

O enunciado pede para usar séries de Fourier e separação de variáveis para resolver a equação de Laplace
\nabla^2 u = 0
em coordenadas polares (r,\theta). Vamos precisar do laplaciano em polares, da expansão de uma função f(\theta) em série de Fourier e da imposição das condições de contorno (Dirichlet e Neumann).

Passo 2

Em coordenadas polares o laplaciano vale
\nabla^2 u = u_{rr} + \frac{1}{r}u_r + \frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}.
Para u(r,\theta)=r^n\cos n\theta temos
u_r = n\,r^{n-1}\cos n\theta,\quad u_{rr} = n(n-1)\,r^{n-2}\cos n\theta,
u_{\theta\theta} = -n^2\,r^n\cos n\theta.
Logo
u_{rr}+\frac1r u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta} = r^{n-2}\cos n\theta\bigl[n(n-1)+n -n^2\bigr] =0.
O mesmo vale para r^n\sin n\theta. Assim essas duas famílias são soluções de Laplace.

Passo 3

Para o problema de Dirichlet no disco r<R buscamos
u(r,\theta) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n\Bigl(\frac rR\Bigr)^n\cos n\theta + b_n\Bigl(\frac rR\Bigr)^n\sin n\theta\Bigr].
Impondo u(R,\theta)=f(\theta) e usando a série de Fourier de f,
f(\theta)=a_0 + \sum_{n=1}^\infty\bigl[a_n\cos n\theta + b_n\sin n\theta\bigr],
vemos que esses mesmos a_n,b_n servem na solução interior, assumindo que se pode derivar termo a termo.

Passo 4

No caso R=1\) e \[f(\theta)= \begin{cases} -100, & -\pi<\theta<0,\\\\ 100, & 0<\theta<\pi, \end{cases}
a função é ímpar em \theta\], logo só aparecem termos em \(\sin n\theta.
Calcula-se
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\sin n\theta\,d\theta = \frac{400}{\pi n}\bigl(1-(-1)^n\bigr),
que é zero se n é par e \tfrac{400}{\pi n}\cdot2=\tfrac{400}{\pi n} se n é ímpar. Assim
u(r,\theta) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{400}{\pi(2k+1)}\,r^{2k+1}\,\sin\bigl((2k+1)\theta\bigr).

Passo 5

No problema de Neumann no disco r<R impomos
u_r(R,\theta)=f(\theta).
Da forma geral
u(r,\theta) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty r^n\bigl(A_n\cos n\theta+B_n\sin n\theta\bigr)
vem
u_r(R,\theta) =\sum_{n=1}^\infty n\,R^{\,n-1}\bigl(A_n\cos n\theta+B_n\sin n\theta\bigr) =f(\theta).
Comparando com a série de Fourier de f obtém-se
A_n=\frac{1}{\pi n R^{\,n-1}}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\cos n\theta\,d\theta, \quad B_n=\frac{1}{\pi n R^{\,n-1}}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\sin n\theta\,d\theta,
com A_0 arbitrário.

Passo 6

A condição de compatibilidade do problema de Neumann é que
\int_{\partial D}u_N\,ds =R\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\,d\theta=0,
ou seja
\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\,d\theta=0.

Passo 7

No anel 1<r<3 a solução geral em modos de Fourier inclui r^n e r^{-n}. Como as condições
u_r(1,\theta)=\sin\theta,\quad u_r(3,\theta)=0
têm só modo n=1, basta
u(r,\theta)=(C\,r + D\,r^{-1})\sin\theta.
Então
u_r(r,\theta)=\bigl(C - D\,r^{-2}\bigr)\sin\theta,
e
C - D = 1,\quad C - \frac{D}{9}=0
D=-\tfrac{9}{8}, C=-\tfrac{1}{8}. Assim
u(r,\theta) =-\frac{1}{8}\bigl(r+\frac{9}{r}\bigr)\sin\theta.

Resposta

(a) As funções
u_n(r,\theta)=r^n\cos n\theta, \quad v_n(r,\theta)=r^n\sin n\theta
satisfazem \nabla^2u=0.
(b) Para o disco r<R,
u(r,\theta) =a_0+\sum_{n=1}^\infty\Bigl[a_n\Bigl(\tfrac rR\Bigr)^n\cos n\theta +b_n\Bigl(\tfrac rR\Bigr)^n\sin n\theta\Bigr],
com
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\cos n\theta\,d\theta, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\sin n\theta\,d\theta.
(c) Se R=1 e f(\theta)=\pm100 em cada semicírculo, então
u(r,\theta) =\sum_{k=0}^\infty\frac{400}{\pi(2k+1)}\,r^{2k+1}\,\sin\bigl((2k+1)\theta\bigr).
(d) No problema de Neumann no disco,
u(r,\theta)=A_0+\sum_{n=1}^\infty r^n\bigl(A_n\cos n\theta+B_n\sin n\theta\bigr),
com
A_n=\frac{1}{\pi n R^{\,n-1}}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\cos n\theta\,d\theta, \quad B_n=\frac{1}{\pi n R^{\,n-1}}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\sin n\theta\,d\theta.
(e) A compatibilidade exige
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\,d\theta=0.
(f) No anel 1<r<3 com u_r(1,\theta)=\sin\theta, u_r(3,\theta)=0,
u(r,\theta) =-\frac{1}{8}\Bigl(r+\frac{9}{r}\Bigr)\sin\theta.

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