Provar que lim (cos pi x)^2 m existe para cada valor de x, sendo igual a 1 ou a 0 . conforme x seja inteiro ou não.

Passo 1

O enunciado define a sequência
am = l(cos(pi x)r)^2m
para cada real x e pede o valor de limmtoinftyam. O conteúdo aqui é o comportamento de potências quando a base tem módulo menor que 1 ou igual a 1, e o que precisamos é:
  1. Caracterizar lvertcos(pi x)rvert.
  2. Usar que se lvert rrvert<1 então limmtoinftyr^m=0, e se r=1 então limmtoinftyr^m=1.

Passo 2

Primeiro, observamos que
cos(pi x)=pm1
se e somente se pi x = kpi com kinZ, ou seja, quando x=k é inteiro. Nesses casos cos^2(pi x)=1. Se x não é inteiro, então pi x não coincide com nenhum múltiplo inteiro de pi e temos
lvertcos(pi x)rvert<1,
logo cos^2(pi x)<1.

Passo 3

Reescrevemos a sequência usando o quadrado:
am = l(cos(pi x)r)^2m =l(cos^2(pi x)r)^m
Agora aplicamos o resultado padrão sobre limites de potências:
  • Se cos^2(pi x)=1, então l(cos^2(pi x)r)^m=1^m=1 para todo m, e assim
limmtoinftyam = 1
  • Se cos^2(pi x)<1, então limmtoinftyl(cos^2(pi x)r)^m=0.

Passo 4

Juntando as duas situações:
  • Quando x é inteiro, cos^2(pi x)=1 e limmtoinftyam=1.
  • Quando x não é inteiro, cos^2(pi x)<1 e limmtoinftyam=0.

Resposta

limmtoinfty l(cos(pi x)r)^2m = 1,&se (xinZ), 0,&caso contrário á

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