Provar que
existe para cada valor de
, sendo igual a 1 ou a 0 . conforme
seja inteiro ou não.
Passo 1
O enunciado define a sequência
para cada real
e pede o valor de
. O conteúdo aqui é o comportamento de potências quando a base tem módulo menor que 1 ou igual a 1, e o que precisamos é:
- Caracterizar
. - Usar que se
então , e se então .
Passo 2
Primeiro, observamos que
se e somente se
com
, ou seja, quando
é inteiro. Nesses casos
. Se
não é inteiro, então
não coincide com nenhum múltiplo inteiro de
e temos
logo
.
Passo 3
Reescrevemos a sequência usando o quadrado:
Agora aplicamos o resultado padrão sobre limites de potências:
- Se
, então para todo , e assim
- Se
, então .
Passo 4
Juntando as duas situações:
- Quando
é inteiro, e . - Quando
não é inteiro, e .