Mostrar que o comprimento da elipse
, é:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da elipse dada pelas parametrizações
com
, e mostrar que
Vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva paramétrica.
Passo 2
O comprimento de arco de uma curva
para
variando de
a
é
Passo 3
Aqui temos
então o integrando fica
Passo 4
Fatorando
dentro da raiz e usando
obtemos
Logo
Passo 5
Para toda a elipse integramos de
a
:
Pela simetria do integrando em cada quadrante, isso vale quatro vezes o trecho de
a
: