Mostrar que o comprimento da elipse x=a cos t, y=b sen t, é:
s=4 alpha integral0^pi!2 raiz1-e^2 cos ^2 t d l, onde e^2=a^2-b^2a^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da elipse dada pelas parametrizações
x(t)=acos t, y(t)=bsin t,
com tin[0,2pi], e mostrar que
s=4,aintegral0^pi2raiz1-e^2cos^2t,dt, e^2=a^2-b^2a^2
Vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva paramétrica.

Passo 2

O comprimento de arco de uma curva l(x(t),y(t)r) para t variando de t1 a t2 é
s=integralt1^t2 raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2 ,dt

Passo 3

Aqui temos
dxdt=-asin t, dydt=bcos t,
então o integrando fica
raiz(-asin t)^2+(bcos t)^2 =raiza^2sin^2t+b^2cos^2t

Passo 4

Fatorando a^2 dentro da raiz e usando
e^2=a^2-b^2a^2 ;Longrightarrow; 1-b^2a^2=e^2,
obtemos
a^2sin^2t+b^2cos^2t =a^2l(sin^2t+b^2a^2cos^2tr) =a^2l(1-e^2cos^2tr)
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ds =a,raiz1-e^2cos^2t,dt

Passo 5

Para toda a elipse integramos de 0 a 2pi:
s=integral0^2piaraiz1-e^2cos^2t,dt
Pela simetria do integrando em cada quadrante, isso vale quatro vezes o trecho de 0 a pi/2:
s=4,aintegral0^pi2raiz1-e^2cos^2t,dt

Resposta

s=4,aintegral0^pi2raiz1-e^2cos^2t,dt, e^2=a^2-b^2a^2

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