Para quais valore de x se verificam as seguintes desigualdades?
3 x-2 <=q x^3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todos os x tais que
3x - 2 <=q x^3
Isso é uma desigualdade de polinômio de grau 3. Para resolver, vamos passar tudo para um lado e estudar o sinal do polinômio resultante:
x^3 - 3x + 2 >=q 0

Passo 2

Fatoramos o polinômio x^3 - 3x + 2. Observamos que x=-2 é raiz, pois
(-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 +6 +2 = 0
Dividindo por x+2 (ou usando divisão sintética) obtemos
x^3 - 3x + 2 = (x+2)(x^2 - 2x + 1) = (x+2)(x-1)^2

Passo 3

Agora estudamos o sinal de
(x+2)(x-1)^2
Como (x-1)^2 é sempre não negativo e só é zero em x=1, o sinal do produto depende unicamente de x+2:
  • Se x+2<0 (ou seja, x<-2), o produto é negativo.
  • Se x+2=0 ( x=-2), o produto vale zero.
  • Se x+2>0 ( x>-2), o produto é positivo (ou zero em x=1, quando (x-1)^2=0).
Queremos que o produto seja >=q0, logo
x+2 >=q 0 Longrightarrow x >=q -2

Resposta

A solução da desigualdade é
x in [-2,infty)

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