- Provar que se a série
convergir para
. convergirá, igualmente para qualquer
. Se divergir para
, divergirá para qualquer
. Assim, haverá uma “abscissa de convergência” tal, que para qualquer valor maior do que
a série convergirá, divergindo para todos os valores inferiores a
.
Passo 1
O enunciado trata da série de Dirichlet com termos não-negativos
e pede para mostrar que, se ela converge em
, então converge também para todo
; e se diverge em
, então diverge para todo
. Vamos usar o teste da comparação para séries de termos não-negativos.
Passo 2
Suponha que
converja. Seja
. Como
, para todo
vale
pois
. Logo
e pelo teste da comparação a série
converge.
Passo 3
Suponha que
diverja. Seja
. Agora
, e para todo
temos
pois
. Então
e pelo teste da comparação a série
diverga.
Passo 4
Definindo a abscissa de convergência
ficamos com a descrição completa da região de convergência: para todo
a série converge e para todo
a série diverge.
Resposta
A série
converge para todos os
maiores que a abscissa de convergência
e diverge para todos os
menores que
.