• Provar que se a série Sigma a^munu^x convergir para x=x0. convergirá, igualmente para qualquer x>x0. Se divergir para x=x0, divergirá para qualquer x<x0. Assim, haverá uma “abscissa de convergência” tal, que para qualquer valor maior do que x a série convergirá, divergindo para todos os valores inferiores a x.

Passo 1

O enunciado trata da série de Dirichlet com termos não-negativos
sumnu=1^inftyanu,nu^-x, anu>=0,
e pede para mostrar que, se ela converge em x=x0, então converge também para todo x>x0; e se diverge em x=x0, então diverge para todo x<x0. Vamos usar o teste da comparação para séries de termos não-negativos.

Passo 2

Suponha que
sumnu=1^inftyanu,nu^-x0
converja. Seja x>x0. Como x-x0>0, para todo nu>=1 vale
nu^-x=nu^-x0;nu^-(x-x0)<=nu^-x0,
pois nu^-(x-x0)<=1. Logo
anu,nu^-x<= anu,nu^-x0,
e pelo teste da comparação a série
sumnu=1^inftyanu,nu^-x converge.

Passo 3

Suponha que
sumnu=1^inftyanu,nu^-x0
diverja. Seja x<x0. Agora x0-x>0, e para todo nu>=1 temos
nu^-x=nu^-x0;nu^x0-x>=nu^-x0,
pois nu^x0-x>=1. Então
anu,nu^-x>= anu,nu^-x0,
e pelo teste da comparação a série
sumnu=1^inftyanu,nu^-x diverga.

Passo 4

Definindo a abscissa de convergência
xc=inflxinR:sumnu=1^inftyanu,nu^-x conver>=r,
ficamos com a descrição completa da região de convergência: para todo x>xc a série converge e para todo x<xc a série diverge.

Resposta

A série sumnu=1^inftyanu,nu^-x converge para todos os x maiores que a abscissa de convergência xc e diverge para todos os x menores que xc.

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