Determinar os quatro primeiros têrmos que não se anulam das séries de Taylor das seguintes funções, na vizinlança de x=0 :
log sen x-log x.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de log(sin x)-log x em torno de x=0. Para resolver, vamos usar o desenvolvimento em série de potências de sin x e a fórmula da série de Taylor de log(1+u).

Passo 2

Reescrevemos a função como
log(sin x)-log x =logsin xx =logl(1+ur),
onde
u=sin xx-1
Para obter u, usamos a série de sin x em torno de 0:
sin x =x-x^36+x^5120-x^75040+cdots

Passo 3

Dividindo por x e subtraindo 1, temos
sin xx =1-x^26+x^4120-x^65040+x^8362880+cdots,
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u=-x^26+x^4120-x^65040+x^8362880+cdots

Passo 4

Aplicamos a expansão
log(1+u)=u-u^22+u^33-u^44+cdots
e calculamos termo a termo até ordem x^8. Isso gera contribuições:
  • u em ordens x^2,x^4,x^6,x^8,
  • -tfracu^22 em ordens x^4,x^6,x^8,
  • tfracu^33 em ordens x^6,x^8,
  • -tfracu^44 em ordem x^8.

Passo 5

Somando todas as contribuições em cada grau de x, obtemos
log(sin x)-log x =-x^26-x^4180-x^62835-x^837800+cdots

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos são
-x^26, -x^4180, -x^62835, -x^837800

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