Determinar os quatro primeiros têrmos que não se anulam das séries de Taylor das seguintes funções, na vizinlança de
:
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
em torno de
. Para resolver, vamos usar o desenvolvimento em série de potências de
e a fórmula da série de Taylor de
.
Passo 2
Reescrevemos a função como
onde
Para obter
, usamos a série de
em torno de
:
Passo 3
Dividindo por
e subtraindo 1, temos
logo
Passo 4
Aplicamos a expansão
e calculamos termo a termo até ordem
. Isso gera contribuições:
-
em ordens , -
em ordens , -
em ordens , -
em ordem .
Passo 5
Somando todas as contribuições em cada grau de
, obtemos
Resposta
Os quatro primeiros termos não nulos são