Demonstrar que
lim x infty raizx+1 / 2(raizx+1-raizx)=1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxtoinftyraizx+tfrac12,l(raizx+1-raizxr)=tfrac12
O conteúdo envolve limites de expressões com radicais e a técnica de racionalização para simplificar a diferença raizx+1-raizx.

Passo 2

Racionalizamos a diferença de radicais multiplicando numerador e denominador por raizx+1+raizx:
raizx+1-raizx =(raizx+1-raizx)(raizx+1+raizx)raizx+1+raizx =(x+1)-xraizx+1+raizx =1raizx+1+raizx

Passo 3

Substituindo na expressão original, temos
raizx+tfrac12,l(raizx+1-raizxr) =raizx+tfrac12raizx+1+raizx

Passo 4

Para estudar o limite quando xtoinfty, dividimos numerador e denominador por raizx:
raizx+tfrac12raizx+1+raizx =raizx,raiz1+tfrac12xraizxl(raiz1+tfrac1x+1r) =raiz1+tfrac12xraiz1+tfrac1x+1

Passo 5

Como xtoinfty, temos raiz1+tfrac12xto1 e raiz1+tfrac1x+1to1+1=2. Logo o limite vale
12=tfrac12

Resposta

tfrac12

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