67 * Se uma partícula percorre a distância 1 no tempo 1, partindo e finalizando em repouso, em alguma parte do intervalo ela esteve sujeita a uma accleração >=q 4.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula move-se em tin[0,1], parte de v(0)=0, termina em v(1)=0 e percorre distância total
integral0^1v(t),dt ;=;1
Queremos mostrar que, em algum instante, sua aceleração a(t)=v'(t) (em valor absoluto) alcança pelo menos 4.

Passo 2

Como v é contínua e v(0)=v(1)=0, existe cin(0,1) em que v(c) é máximo. Nesse ponto v(c)>0, e como v sobe de 0 a v(c) em [0,c] e desce de v(c) a 0 em [c,1], a área sob o gráfico de v satisfaz
integral0^1v(t),dt ;<=; área do triângulo cujo vértice é (c,v(c)) ;=;1cdot v(c)2 áâéé
Como a integral vale 1, segue
1 <= v(c)2 Longrightarrow v(c)>= 2

Passo 3

Aplicamos o Teorema do Valor Médio em cada subintervalo:
  1. Em [0,c] existe xiin(0,c) tal que
v'(xi) =v(c)-v(0)c-0 =v(c)c ;>=;2c
  1. Em [c,1] existe etain(c,1) tal que
v'(eta) =v(1)-v(c)1-c =-v(c)1-c ;<=;-,21-c

Passo 4

Note que maxl(2c,21-cr) é mínimo quando c=1/2, valendo então 4. Logo
max!l(2c,21-cr);>=;4,
o que significa que ou
v'(xi);>=;2c;>=;4 ou v'(eta);<=;-,21-c;<=;-4
Em qualquer caso, em algum instante a magnitude da aceleração atinge pelo menos 4.

Resposta

Em algum instante do movimento a aceleração (em módulo) é >= 4.

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