67 * Se uma partícula percorre a distância 1 no tempo 1, partindo e finalizando em repouso, em alguma parte do intervalo ela esteve sujeita a uma accleração
.
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula move-se em
, parte de
, termina em
e percorre distância total
Queremos mostrar que, em algum instante, sua aceleração
(em valor absoluto) alcança pelo menos
.
Passo 2
Como
é contínua e
, existe
em que
é máximo. Nesse ponto
, e como
sobe de
a
em
e desce de
a
em
, a área sob o gráfico de
satisfaz
Como a integral vale
, segue
Passo 3
Aplicamos o Teorema do Valor Médio em cada subintervalo:
- Em
existe tal que
- Em
existe tal que
Passo 4
Note que
é mínimo quando
, valendo então
. Logo
o que significa que ou
Em qualquer caso, em algum instante a magnitude da aceleração atinge pelo menos
.
Resposta
Em algum instante do movimento a aceleração (em módulo) é
.