Provar que, se oscilar entre limites finitos, e se fôr uma seqüência monótona que tende para zero, será convergente.
Passo 1
No enunciado, temos uma série cujas somas parciais ficam entre limites finitos (ou seja, são uniformemente limitadas), e uma sequência monótona que tende a zero. O conteúdo a usar é o teste de Dirichlet para séries e a técnica de soma por partes.
Passo 2
Definimos a soma parcial
Por hipótese, existe constante tal que para todo .
Passo 3
Aplicamos a identidade de soma por partes: para cada vale
Esse desdobramento se obtém escrevendo e rearranjando os termos.
Passo 4
Analisamos o primeiro termo quando . Como e , segue que
Passo 5
Analisamos a soma .
Como é monotônica, tem-se e
Mas
sumnu=1^n (bnu - bnu+1) = b1 - bn+1
é majorada por b1 e, como bn+1to0, a soma telescópica converge. Pelo teste da comparação, sumnu=1^infty Snu,(bnu - bnu+1) converge.
Passo 6
Juntando os resultados, as somas parciais da série original
sumnu=1^n anu bnu = Sn bn+1 + sumnu=1^n Snu,(bnu - bnu+1)
têm limite finito quando ntoinfty. Portanto, sumnu=1^infty anu bnu converge.
Resposta
A série sumnu=1^infty anu bnu é convergente, por aplicação do teste de Dirichlet.
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 182