• Provar que, se Sigma anu oscilar entre limites finitos, e se bnu fôr uma seqüência monótona que tende para zero, Sigma anu bnu será convergente.

Passo 1

No enunciado, temos uma série sumnu=1^infty anu cujas somas parciais ficam entre limites finitos (ou seja, são uniformemente limitadas), e uma sequência (bnu) monótona que tende a zero. O conteúdo a usar é o teste de Dirichlet para séries e a técnica de soma por partes.

Passo 2

Definimos a soma parcial
Sn = sumnu=1^n anu
Por hipótese, existe constante M>0 tal que lvert Snrvert <= M para todo n.

Passo 3

Aplicamos a identidade de soma por partes: para cada n vale
sumnu=1^n anu bnu = sumnu=1^n (Snu - Snu-1),bnu = Sn bn+1 + sumnu=1^n Snu,l(bnu - bnu+1r)
Esse desdobramento se obtém escrevendo anu = Snu - Snu-1 e rearranjando os termos.

Passo 4

Analisamos o primeiro termo quando ntoinfty. Como lvert Snrvert<= M e bn+1to0, segue que
limntoinfty Sn bn+1 = 0

Passo 5

Analisamos a soma
sumnu=1^n Snu,(bnu - bnu+1).
Como (bnu) é monotônica, tem-se bnu - bnu+1>=0 e
l|Snu,(bnu - bnu+1)r|<= M,(bnu - bnu+1)
Mas
sumnu=1^n (bnu - bnu+1) = b1 - bn+1
é majorada por b1 e, como bn+1to0, a soma telescópica converge. Pelo teste da comparação, sumnu=1^infty Snu,(bnu - bnu+1) converge.

Passo 6

Juntando os resultados, as somas parciais da série original
sumnu=1^n anu bnu = Sn bn+1 + sumnu=1^n Snu,(bnu - bnu+1)
têm limite finito quando ntoinfty. Portanto, sumnu=1^infty anu bnu converge.

Resposta

A série sumnu=1^infty anu bnu é convergente, por aplicação do teste de Dirichlet.

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