Mostrar que
sumnu=1^infty 1.2 3 ldots nu(alpha+1)(alpha+2) ldots(alpha+nu) converge se alpha>1 e diverge se alpha <=q 1.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumnu=1^infty 1cdot2cdot3cdotsnu(alpha+1)(alpha+2)cdots(alpha+nu)
Denotamos o termo geral por
anu = nu!(alpha+1)(alpha+2)cdots(alpha+nu)
Queremos mostrar que a série converge se alpha>1 e diverge se alpha<=1. Vamos usar o teste de Raabe, que é uma refinamento do teste da razão.

Passo 2

Calculamos a razão dos termos consecutivos:
anu+1anu = (nu+1)!/[(alpha+1)cdots(alpha+nu+1)]nu! /[(alpha+1)cdots(alpha+nu)] = nu+1alpha+nu+1
No teste de Raabe definimos
Rnu = nul(1 - anu+1anur) = nul(1 - nu+1alpha+nu+1r) = nualphaalpha+nu+1 = alpha,nualpha+nu+1

Passo 3

Analisamos o limite de Rnu quando nutoinfty:
limnutoinfty Rnu = limnutoinfty alpha,nualpha+nu+1 = alpha
Pelo teste de Raabe:
  • Se lim Rnu>1, a série converge.
  • Se lim Rnu<1, a série diverge.
  • Se lim Rnu=1, o teste é inconclusivo.
Daí segue que:
  • Para alpha>1, temos lim Rnu=alpha>1 e a série converge.
  • Para alpha<1, lim Rnu=alpha<1 e a série diverge.
Falta só o caso alpha=1:
anu = nu!2cdot3cdots(nu+1) = nu!(nu+1)! = 1nu+1,
e sum1/(nu+1) é uma série harmônica deslocada, que diverge.

Resposta

A série converge exatamente para alpha>1 e diverge para alpha<=1.

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