Mostrar que
converge se
e diverge se
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Denotamos o termo geral por
Queremos mostrar que a série converge se
e diverge se
. Vamos usar o teste de Raabe, que é uma refinamento do teste da razão.
Passo 2
Calculamos a razão dos termos consecutivos:
No teste de Raabe definimos
Passo 3
Analisamos o limite de
quando
:
Pelo teste de Raabe:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Daí segue que:
- Para
, temos e a série converge. - Para
, e a série diverge.
Falta só o caso
:
e
é uma série harmônica deslocada, que diverge.
Resposta
A série converge exatamente para
e diverge para
.