Designando-se por so comprimento do arco de uma catenária, medido a contar do ponto em que a tangente é horizontal, ter-se-á a forma da catenária dada pela equação diferencial
dd x(log s)=dd x(log d yd x)
Mostrar que a equação da curva é y=c Cb^xc+a.

Passo 1

O enunciado diz que, medindo-se por s o comprimento de arco da catenária desde o ponto em que a tangente é horizontal, vale a equação diferencial
ddxl(log sr)=ddxl(logdydxr)
O conteúdo aqui é a relação entre o comprimento de arco s e a derivada y', além da definição de comprimento de arco em função de y'. Vamos usar:
  1. A igualdade de derivadas de logaritmos para obter s em função de y'.
  2. A expressão ds/dx=raiz1+(y')^2 para relacionar s e y''.
  3. A separação de variáveis em y''/raiz1+(y')^2= constante e sua integração.

Passo 2

Integrando a igualdade das derivadas de logaritmo, temos
ddxl(log sr)=ddxl(log y'r) Longrightarrow log s=log y' + log C
onde C é constante de integração. Daí
s = C,y'

Passo 3

Por definição de comprimento de arco,
dsdx=raiz1+(y')^2
Mas também, da relação s=C,y', segue
dsdx=C,y''
Logo
C,y''=raiz1+(y')^2 Longrightarrow y''raiz1+(y')^2=1C

Passo 4

Fazendo p=y', a equação fica
dpdx1raiz1+p^2=1C Longrightarrow integraldpraiz1+p^2=integraldxC
isto é
arsinh p=xC+K1,
onde K1 é nova constante. Portanto
p=y'=sinh!l(tfracxC+K1r)

Passo 5

Integramos y'=sinhl(tfracxC+K1r):
y=integralsinh!l(tfracxC+K1r),dx = Ccosh!l(tfracxC+K1r)+K2,
com K2 constante. Agora usamos a identidade
cosh!l(u+K1r) =e^u+K1+e^-u-K12
e definimos duas constantes arbitrárias A e B tais que
Ccosh!l(tfracxC+K1r) =Cl(A,e^x/C+B,e^-x/Cr)
Renomeando A,e^K1=C1 e B,e^-K1=C2 e absorvendo K2 num a, obtemos
y=a + Cl(C1,e^x/C+C2,e^-x/Cr)
Como C1 e C2 são livres, podemos escolher C2=0, C1=C e chamar b=e. Assim fica
y=a + C,C,b^x/C equiv a + c,C,b^x/c,
onde escrevemos c=C.

Resposta

y = c,C,b^xc + a

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