Designando-se por so comprimento do arco de uma catenária, medido a contar do ponto em que a tangente é horizontal, ter-se-á a forma da catenária dada pela equação diferencial
Mostrar que a equação da curva é
.
Passo 1
O enunciado diz que, medindo-se por
o comprimento de arco da catenária desde o ponto em que a tangente é horizontal, vale a equação diferencial
O conteúdo aqui é a relação entre o comprimento de arco
e a derivada
, além da definição de comprimento de arco em função de
. Vamos usar:
- A igualdade de derivadas de logaritmos para obter
em função de . - A expressão
para relacionar e . - A separação de variáveis em
constante e sua integração.
Passo 2
Integrando a igualdade das derivadas de logaritmo, temos
onde
é constante de integração. Daí
Passo 3
Por definição de comprimento de arco,
Mas também, da relação
, segue
Logo
Passo 4
Fazendo
, a equação fica
isto é
onde
é nova constante. Portanto
Passo 5
Integramos
:
com
constante. Agora usamos a identidade
e definimos duas constantes arbitrárias
e
tais que
Renomeando
e
e absorvendo
num
, obtemos
Como
e
são livres, podemos escolher
,
e chamar
. Assim fica
onde escrevemos
.