Calcular:
lim n infty 1n(1+sec ^2 pi4 n+sec ^2 2 pi4 n+ldots+sec ^2 n pi4 n).

Passo 1

O enunciado pede calcular
limn to infty1nl(1+sec^2pi4n+sec^22pi4n+cdots+sec^2npi4nr)
Este tipo de limite é um caso de soma de Riemann, que converge para uma integral de uma função contínua. Aqui precisaremos reconhecer a função que estamos somando e usar a integral de sec^2, cuja primitiva é tan.

Passo 2

Defina a partição de [0,1] em n subintervalos de largura De<a u=1/n. Para cada k=0,1,dots,n, tome
uk = kn
Então observe que
sec^2!l(tfrackpi4nr) =sec^2!l(tfracpi4ukr)
Assim a soma fica
1nsumk=0^n sec^2!l(tfracpi4ukr) =sumk=0^n sec^2!l(tfracpi4ukr),De<a u,
que em ntoinfty converge para
integral0^1 sec^2!l(tfracpi4ur),du

Passo 3

Vamos calcular a integral
integral0^1 sec^2!l(tfracpi4ur),du
Fazemos a substituição t=tfracpi4u, logo du=tfrac4pi,dt. Quando u=0, t=0; e quando u=1, t=tfracpi4. A integral vira
integral0^pi/4 sec^2(t),4pi,dt =4piintegral0^pi/4sec^2(t),dt

Passo 4

Sabemos que a primitiva de sec^2(t) é tan(t). Logo
4piintegral0^pi/4sec^2(t),dt =4pil[tan(t)r]0^pi/4 =4pil(tan(tfracpi4)-tan(0)r) =4pi(1-0) =4pi

Resposta

4pi

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