Prove que 36^36+41^41 é divisível por 77 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
36^36 + 41^41
é divisível por 77. Como 77 = 7 times 11 e 7 e 11 são primos distintos, basta provar que a soma é 0 módulo 7 e também 0 módulo 11. Para isso usaremos aritmética modular e, no caso de módulo 11, o Pequeno Teorema de Fermat.

Passo 2

Verificação em bmod 7.
Primeiro,
36 equiv 1 pmod7,
pois 36 = 5cdot7 + 1. Logo
36^36 equiv 1^36 equiv 1 pmod7
Em seguida,
41 equiv 6 equiv -1 pmod7,
então
41^41 equiv (-1)^41 equiv -1 equiv 6 pmod7
Somando os restos:
36^36 + 41^41 equiv 1 + 6 = 7 equiv 0 pmod7

Passo 3

Verificação em bmod 11.
Temos
36 equiv 3 pmod11
e, pelo Pequeno Teorema de Fermat, para a não múltiplo de 11,
a^10 equiv 1 pmod11
Escrevendo 36^36 = 3^36 = 3^10cdot3 + 6 = (3^10)^3 cdot 3^6, obtemos
3^36 equiv 1^3 cdot 3^6 equiv 3^6 pmod11
Como
3^5 = 243 equiv 1 pmod11,
segue que
3^6 = 3^5 cdot 3 equiv 1 cdot 3 = 3 pmod11
Agora,
41 equiv 8 pmod11,
e
41^41 = 8^41 = 8^10cdot4 + 1 = (8^10)^4 cdot 8 equiv 1^4 cdot 8 = 8 pmod11
Somando os restos:
36^36 + 41^41 equiv 3 + 8 = 11 equiv 0 pmod11

Passo 4

Como 36^36 + 41^41 é congruente a 0 tanto em módulo 7 quanto em módulo 11, concluímos que é divisível por 7cdot11=77.

Resposta

Está provado que 36^36 + 41^41 é divisível por 77.

Exercícios de Livros Relacionados