Demonstre que a soma das três alturas de um triângulo acutângulo é menor que o perímetro e maior que o semiperímetro desse triângulo.
Passo 1
Vamos ao enunciado. Temos um triângulo acutângulo de lados
, semiperímetro
perímetro
, e alturas
relativas a
. Queremos provar
Para isso usaremos a área do triângulo, a lei dos senos (introduzindo o raio
do circuncírculo) e algumas desigualdades trigonométricas.
Passo 2
Da área
do triângulo temos
Por outro lado, pela fórmula
e pela lei dos senos
, etc., obtemos
e analogamente
Logo a soma das alturas é
E também, usando
etc.,
Passo 3
Prova da segunda desigualdade
.
Em qualquer triângulo agudo as funções de seus ângulos são positivas, e vale a desigualdade de média aritmética–geométrica:
Em qualquer triângulo agudo as funções
e análogas permutando
. Somando as três:
Multiplicando por
dá
Passo 4
Prova da primeira desigualdade
.
Queremos mostrar
Queremos mostrar
ou seja
Uma forma de ver isso é usar que em qualquer triângulo acutângulo um dos ângulos é pelo menos
, e a função
é crescente em
; fazendo uma análise de caso ou recorrendo a uma simples análise de funções (por exemplo expandindo
e usando
), conclui-se que para
com
sempre vale
Multiplicando por
obtemos
Resposta
Portanto, em todo triângulo acutângulo de semiperímetro
, perímetro
e alturas
, vale