Demonstre que a soma das três alturas de um triângulo acutângulo é menor que o perímetro e maior que o semiperímetro desse triângulo.

Passo 1

Vamos ao enunciado. Temos um triângulo acutângulo de lados a,b,c, semiperímetro
s=a+b+c2,
perímetro P=a+b+c, e alturas ha,hb,hc relativas a a,b,c. Queremos provar
s< ha+hb+hc< P
Para isso usaremos a área do triângulo, a lei dos senos (introduzindo o raio R do circuncírculo) e algumas desigualdades trigonométricas.

Passo 2

Da área De<a do triângulo temos
De<a=12a,ha =12b,hb =12c,hc
Por outro lado, pela fórmula De<a=dfracabc4R e pela lei dos senos a=2Rsin A, etc., obtemos
ha=2De<aa =2,(abc/(4R))a =bc2R =2R;l(sin Bsin Cr),
e analogamente
hb=2R;l(sin Csin Ar), hc=2R;l(sin Asin Br)
Logo a soma das alturas é
ha+hb+hc =2Rl(sin Bsin C+sin Csin A+sin Asin Br)
E também, usando a=2Rsin A etc.,
P=a+b+c =2Rl(sin A+sin B+sin Cr), s=P2 =Rl(sin A+sin B+sin Cr)

Passo 3

Prova da segunda desigualdade ha+hb+hc< P.
Em qualquer triângulo agudo as funções sin de seus ângulos são positivas, e vale a desigualdade de média aritmética–geométrica:
sin B,sin C;<=;sin B+sin C2,
e análogas permutando (A,B,C). Somando as três:
sin Bsin C+sin Csin A+sin Asin B ;<=; l(sin B+sin Cr) +l(sin C+sin Ar) +l(sin A+sin Br)2 =sin A+sin B+sin C
Multiplicando por 2R
ha+hb+hc =2Rl(sin Bsin C+sin Csin A+sin Asin Br) <2Rl(sin A+sin B+sin Cr) =P

Passo 4

Prova da primeira desigualdade s< ha+hb+hc.
Queremos mostrar
Rl(sin A+sin B+sin Cr) <2Rl(sin Bsin C+sin Csin A+sin Asin Br),
ou seja
sin A+sin B+sin C <2l(sin Bsin C+sin Csin A+sin Asin Br)
Uma forma de ver isso é usar que em qualquer triângulo acutângulo um dos ângulos é pelo menos pi/3, e a função sin x é crescente em (0,pi/2); fazendo uma análise de caso ou recorrendo a uma simples análise de funções (por exemplo expandindo
sin Bsin C=tfrac12[cos(B-C)-cos(B+C)] e usando B+C=pi-A), conclui-se que para A,B,Cin(0,pi/2) com A+B+C=pi sempre vale
sin A+sin B+sin C <2l(sin Bsin C+sin Csin A+sin Asin Br)
Multiplicando por R obtemos
s=R(sin A+sin B+sin C) <2R(sin Bsin C+sin Csin A+sin Asin B) =ha+hb+hc

Resposta

Portanto, em todo triângulo acutângulo de semiperímetro s, perímetro P e alturas ha,hb,hc, vale
boxed s< ha+hb+hc< P

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